1 排列组合解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事, 即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题( 有序) 还是组合( 无序) 问题, 元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 13C 然后排首位共有 14C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得 1 1 3 4 3 4 288 C C A ?位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主, 需先安排特殊元素, 再处理其它元素. 若以位置分析为主, 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。若有多个约束条件, 往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件二. 相邻元素捆绑策略例 人站成一排, 其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解: 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素, 同时丙丁也看成一个复合元素, 再与其它元素进行排列, 同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 5 2 2 5 2 2 480 A A A ?种不同的排法乙甲丁丙要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题. 即将需要相邻的元素合并为一个元素, 再与其它元素一起作排列, 同时要注意合并元素内部也必须排列. 三. 不相邻问题插空策略例 3. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱, 舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种? 解: 分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 55A 种,第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 46A 不同的方法, 由分步计数原理, 节目的不同顺序共有 5 4 5 6 A A 种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端四. 定序问题倍缩空位插入策略例 人排队, 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:( 倍缩法) 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数, 则共有不同排法种数是: 7 3 7 3 / A A ( 空位法) 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法, 则共有 47A 种方法。(插入法) 先排甲乙丙三个人, 共有 1 种排法, 再把其余 4 四人依次插入共有方法定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插空模型处理五. 重排问题求幂策略例 名实习生分配到 7 个车间实习, 共有多少种不同的分法解: 完成此事共分六步: 把第一名实习生分配到车间有 7 种分法. 把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推, 由分步计数原理共有 67 种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以
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