解排列组合应用问题的十种思考方法.doc

第1页“解排列、组合应用问题”的思维方法一、优先考虑: 对有特殊元素(即被限制的元素)或特殊位置(被限制的位置)的排列, 通常是先排特殊元素或特殊位置,再考虑其它的元素或其它的位置。例1 .( 1)由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。(2)由1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数, 其中小于 50000 的偶数共有个。(3)5 个人排成一排,其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有种。二、“捆”在一起: 有要求元素相邻( 即连排) 的排列问题, 可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列,然后“整体”内部再进行排列。例2.(1)有3 位老师、4 名学生排成一排照相, 其中老师必须在一起的排法共有种。(2)有2 位老师和6 名学生排成一排, 使两位老师之间有三名学生, 这样的排法共有种。三、插空档: 有要求元素不相邻(即间隔排)的排列问题,可以制造空档插空。例3 .( 1) 五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排,任两台电视机不靠在一起, 有种陈列方法。(2)6 名男生 6 名女生排成一排,要求男女相间的排法有种。四、减去特殊情况(即逆向思考): 先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数,然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。例4 .( 1) 以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。(2)由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。(3) 集合 A 有8 个元素,集合 B 有7 个元素, BA?有4 个元素,集合 C 有3 个元素且满足下列条件:?????BCACBAC???,, 的集合 C 有几个。第2页(4)从6 名短跑运动员中选 4 人参加 4 100 米的接力赛,如果其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有多少种参赛方案? 五、先组后排: 排列、组合综合题,通常都是先考虑组合后考虑排列。例5(1)用1、2、3、9 这九个数字, 能组成由 3 个奇数数字、2 个偶数数字的不重复的五位数有个。(2)有8 本不同的书,从中取出 6 本,奖给 5 位数学优胜者,规定第一名(仅一人)得 2 本,其它每人一本,则共有种不同的奖法。(3) 有五项工作,四个人来完成且每人至少做一项,共有种分配方法。六、除以排列数: 对某些元素有顺序限制的排列, 可以先不考虑顺序限制排列后, 再除去规定顺序元素个数的全排列。例6(1)有4 名学生和 3 位老师排成一排照相,规定两端不排老师且老师顺序固定不变, 那么不同的排法有种。(2)由0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数, 其中个位数字小于十位数字, 十位数字小于百位数字,则这样的数共有个。(3) 书架上放有 5 本书( 1~5 册),现在要再插入 3 本书,保持原有的相对顺序不变,有种放法。七、对象互调: 有些排列或组合题直接就题论题很难入手, 但换个角度去考虑便顺利求得结果又易理解。例7 .( 1) 一部电影在四个单位轮放,每单位放映一场,可以有种放映次序。(2) 一排有 8 个座位, 3 人去坐,要求每人左右两边都有空位的坐法有种。(3)有6 个座位 3 人去坐,要求恰好有两个空位相连的不同坐法有种。第3页八、分情况研究: 分情况研究(即分类计算)复杂的排列、组合综合题,常常通过画简图、按元素的性质“分类”;按事件发生的连续过程“分步”等方法。分情况研究求得结果,