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习．求由方程y5+2y-x-3x7=0 所确定的隐函数y=f(x)在 x=0处的导数y¢|x=0.
解: 把方程两边分别对x求导数得5y×y¢+2y¢-1-21x 6=0,
x.
由此得y¢=1+215y4+26x6|=1.
因为当x=0时, 从原方程得y=0, 所以 y¢|x=0=1+215y4+2x=022y2x 例2. 求椭圆+=1在(2, 33)处的切线方程.
1692 解: 把椭圆方程的两边分别对x求导, 得 x+2y×y¢=0. 从而y¢=-9x.
8916y 当x=2时, y=33, 代入上式得所求切线的斜率k=y¢|x=2=-3.
24 所求的切线方程为y-33=-3(x-2), 即3x+4y-83=0.
24 练习．求由方程x-y+1siny=0所确定的隐函数y 2的二阶导数.
解: 方程两边对x求导, 得 1-dy1dydy2+cosy×=0, 于是 =.










dx2dxdx2-cosy-2siny×dydx=-4siny.
上式两边再对x求导, 得 2=dx(2-cosy)2(2-cosy)3d2y
3、幂指函数求导
例5．求y=x sin x (x>0)的导数.
解法一: 利用隐函数求导--化对数式 两边取对数, 得ln y=sin x × ln x,
上式两边对x 求导, 得1y¢=cosx×lnx+sinx×1,
yx于是y¢=y(cosx×lnx+sinx×1)=xsinx(cosx×lnx+sinx).
xx解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求: 利用复合函数求导--化指数式
ln x y=x sin x=e sin x·, y¢=esinx×lnx(sinx×lnx)¢=xsinx(cosx×lnx+sinx).
x利用复合函数求导--化指数式
对数求导法: 这种方法是先在y=f(x)的两边取对数, 然后再求出y的导数.










设y=f(x), 两边取对数, 得ln y = ln f(x),
两边对x 求导, 得 1y¢=[lnf(x)]¢,
y¢= f(x)×[ln f(x)]¢.
y对数求导法适用于求幂指函数y=[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数.
练习. 求函数y=(x-1)(x-2)的导数.
(x-3)(x-4) 解: 先在两边取对数(假定x>4), 得ln y=1[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)],
2上式两边对x求导, 得1y¢=1(1+1-1-1),
y2x-1x-2x-3x-4y于是 y¢=(1+1-1-1).
2x-1x-2x-3x-4当x (3-x)(4-x)(3-x)(4-x)用同样方法可得与上面相同的结果.
注: 严格来说, 本题应分x>4, x<1, 2<x<3三种状况探讨, 但结果都是一样的.
：我们这节课学习了内容？师生共同总结。 ：P87，1（1），2（3），4（3）
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