函数的对称性.pdf

行胜于言
一题多解、一题多变
考查知识点：函数的对称中心
原题：函数 y =lg(x+ x2 +1) 的图象关于原点对称。
解：该函数定义域为 行胜于言
一题多解、一题多变
考查知识点：函数的对称中心
原题：函数 y =lg(x+ x2 +1) 的图象关于原点对称。
解：该函数定义域为 R，且 f (•x)+ f (x) = lg(•x+ (•x)2 +1) +
lg(x+ x2 +1) =lg(•x+ x2 +1)(x+ x2 +1) = lg 1= 0
∴ f (•x) =•f (x) ，∴该函数图像关于原点对称
变题 1：已知函数 y = f (x) 满足 f (•x+1) =•f (x+1) 则 y = f (x) 的图象的关于(1,0) 对
称
解： f (•x+1) =•f (x+1) ∴ y = f (x+1) 为奇函数，即 y = f (x+1) 的图象关于原点
(0,0) 对称，故 y = f (x) 的图象关于 (1,0) 对称。
变题 2：已知函数 y = f (x) 满足 f (x)+ f (•x) = 2，则函数 y = f (x) 的图象关于 (0,1)
对称
解：由 f (x)+ f (•x) = 2得，∴ f (•x)•1=•[ f (x)•1]，y = f (x) －1 为奇函数，即 y = f (x)
－1 的图象关于（0，0）对称，∴ y = f (x) 的图象关于 (0,1) 对称
变题 3：已知函数 y = f (x) 满足 f (x)+ f (2+ x) = 2，则 y = f (x) 的图象关于（1，
1）对称
解：令 x=t•1，则 •x=1•t，故由 f(x)+f(2+x)=2得 f(1+t)+f(1•t)=2，即 f(x)
满足 f (1+ x)+ f (1•x) = 2 ，即 f (•x+1)•1=•[ f (x+1)•1]，∴ y = f (x+1)•1的图象关于原行胜于言
点（0，0）对称，故 y = f (x) 的图象关于（1，1）对称。
a+c b
结论：若函数 y = f (x) 满足 f (a+ x)+ f (c•x) =b ，则 y = f (x) 的图象关于( 2 , 2 )对
称。
4 x
变题 4：已知 f (x) = 求证：（1） f (x)+ f (1•x) =1（2）指出该函数图象的
4 x + 2
对称中心并说明理由。
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