内蒙古赤峰市宁城县高三一模数学(理).docx

宁城县高三年级统一考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷 （选择题 共 60 分）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I
卷第 1 页～第 2 页，第 II 卷第 3 页～第 6 页 （D） 5
如图，正方体 ABCD A' B ' C ' D ' 绕其体对角线 BD ' 旋转 之
后与其自身重合，则的值可以是
（A） 2
（B） 3
（C） 5
（D） 3
3
4
6
5
ex
ax, x
0
12. 已知 f (x)0,
x
0
，若函数 f
x 有 5 个零点，则实
e x
ax, x
0
数 a 的取值范围是
（ A）
, 1
e

（B） , e （ C） e, （D） 1 ,
e
宁城县高三年级统一考试
数学试题（理科）
第Ⅱ卷（非选择题
共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做
答．第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分）
- 2 -
13.
某地区举行高中数学竞赛，全体参赛学生的比赛成绩
近似服从正态分布 N (80, 2 ) ，
(
0) ，参赛学生共
500 名. 若
在 70,90 内的取值概率为 ，那么 90 分以上（含
90 分）的学生人数为
.
已知一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的外接球的体积
为 .
x
2 y
0
2x
y 的最大值
15. 已知实数 x, y 满足 x
y
1 0 ，且 z
y
0
x2
y2
为
.
16. 已知 a,b,c 分别是 ABC 的内角 A, B,C 的对边， BC 边上的高为
a ，则 c 的最大值为 .
2 b
三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）
17. （本题满分 12 分）
an
1 的单调递增的等比数列，且满足
a3
5
已知数列
是首项为
, a4 , a5 成等差数列 .
3
（Ⅰ）求
an
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
2n 1
的前 n 项和 Sn ，求证： Sn 3 .
an
- 3 -
18．（本题满分 12 分）
已知长方体 AC1 中， AD
AB 2， AA1
1 ， E 为 D1C1 的中点，如图所示 .
( Ⅰ ) 在所给图中画出平面
ABD1 与平面 B1EC 的交线（不必说明理由） ；
( Ⅱ) 证明： BD1 // 平面 B1EC ；
( Ⅲ ) 求平面 ABD1 与平面 B1EC 所成锐二面角的余弦值 .
D1
E
C1
A1
B1
D
C
A
B
19．（本题满分 12 分）
微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微
信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商） . 为了调查每天微信用户使用微信的时间，某
经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小
时的用户为“ A 组”，否则为“ B 组”，调查结果如下：
A 组
B 组
合计
男性
26
24
50
女性
30
20
50
合计
56
44
100
（Ⅰ）根据以上数据，能否有
60%的把握认为“
A 组”用户与“性别”有关？
（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出
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