四面体外接球的球心半径求法.docx

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四面体外接球得球心、半径求法
在立体儿何中，儿何体外接球就是一个常考得知识点，对于学生来说这就是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形得情况下无从下手，不知道球心在什么位置,半径就是多少而无法解题。
本文章在给出图形得悄况: .
四面体外接球得球心、半径求法
在立体儿何中，儿何体外接球就是一个常考得知识点，对于学生来说这就是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形得情况下无从下手，不知道球心在什么位置,半径就是多少而无法解题。
本文章在给出图形得悄况下解决球心位置、半径大小得问题.
1. 出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发得三条棱长分别为，则体对角线长为，儿何体得外接球直径为体对角线长即
【例题】:在四面体中，共顶点得三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体得四个顶点在一个球面上,求这个球得表面积。
解：
因为:长方体外接球得直径为长方体得体对角线长所以:四面体外接球得直径为得长即：
所以球得表面积为二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥得四个顶点都在球得球面上，且“求球得体积。
解:且””因为所以知所以所以可得图形为:
所以该外接球得体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外得两个点连线、三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解。
【结论】：空间两点间距离公式:
四、四面体就是正四面体处理球得“内切”“外接”问题
与球有关得组合体问题，一种就是内切,一种就是外接。作为这种特殊得位置关系在髙考中也就是考查得重点，但同学们又因缺乏较强得空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认貞•分析图形，明确切点与接点得位垃及球心得位置,画好截而图就是关键，可使这类问题迎刃而解。
一、棱锥得内切、外接球问题
？
分析:运用正四面体得二心合一性质，作岀截面图，通过点、线、而关系解之。
解:如图1所示，设点就是内切球得球心，正四而体棱长为•由图形得对称性知，点也就是外接球得球心•设内切球半径为，外接球半径为.
正四而体得表而积、正四而体得体积在中得，得
【点评】由于正四面体本身得对称性可知，内切球与外接球得两个球心就是重合得，为正四而体高得四等分点，即内切球得半径为（为正四而体得髙），且外接球得半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间得关系。
例2。设棱锥得底面就是正方形，且,，如果得而积为1,试求能够放入这个棱锥得最大球得半径.
由此,而面、记就是得中点，
从而、平面，
设球就是与平而、平而、平面都相切得球、如图2,得截面图及内切圆
不妨设平面,于就是就是得内心.
设球得半径为，贝山设,。
I当且仅当，即时，等号成立。
・•・当时,满足条件得球最大半径为.
练习：一个正四面体内切球得表而积为，求正四而体得棱长。（答案为:）
【点评】根据棱锥得对称性确左内切球与各面得切点位苣，作出截而图就是解题得关键、
二、球与棱柱得组合体问题