高中数学竞赛讲义完美数学高考指导二.doc

高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二)
高中数学竞赛讲义（十）
──直线和圆的方程
一、基础知识
1．解析几何的讨论对象是曲线和方程。，即如果一条曲线上的点构成设双曲线1的两支为C1，C2，正Δ三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。
[证明]  假设P，Q，R在同一支上，不妨设在右侧一支C1上，并设P，Q，R三点的坐标分别为且0<x1<x2<x3. 记∠θ，它是直线到的角，由假设知直线，的斜率分别为，
由到角公式
所以θ为钝角，和Δ为等边三角形矛盾。所以命题成立。
3．代数形式的几何意义。
例4  求函数的最大值。
[解]  因为表示动点P(x, x2)到两定点A(3, 2), B(0, 1)的距离之差，见图10-3，当延长线和抛物线2的交点C和点P重合时，f(x)取最大值
4．最值问题。
例5  已知三条直线l1: 0, l2: (1)=0, l3: (1)1=0围成Δ，求m为何值时，Δ的面积有最大值、最小值。
[解]记l1, l2, l3的方程分别为①，②，③。在①，③中取1, 0，知等式成立，所以A(-1, 0)为l1和l3的交点；在②，③中取0, 1，等式也成立，所以B(0, 1)为l2和l3的交点。设l1, l2斜率分别为k1, k2, 若m0，则k12=, SΔ，由点到直线距离公式，。
所以SΔ。因为2m≤m2+1，所以SΔ≤。又因为2-1≤2m，所以，所以SΔ≥
当1时，（SΔ）；当1时，（SΔ）.
5．线性规划。
例6  设x, y满足不等式组
（1）求点(x, y)所在的平面区域；
（2）设a>-1，在（1）区域里，求函数f()的最大值、最小值。
[解] （1）由已知得或
解得点(x, y)所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。：25；：21；：1；：4.
(2) f(x, y)是直线l: 在y轴上的截距，直线l和阴影相交，因为a>-1，所以它过顶点C时，f(x, y)最大，C点坐标为（-3，7），于是f(x, y)的最大值为37. 如果-1<a≤2，则l通过点A（2，-1）时，f(x, y)最小，此时值为-21；如果a>2，则l通过B（3，1）时，f(x, y)取最小值为-31.
6．参数方程的应用。
例7  如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+(1)2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线2的距离等于，求P点的轨迹方程。
[解]  设直线的参数方程为（t参数）。
代入已知圆的方程得t2?2α=0.
所以0或2α。所以2α|，而.
所以2α|，而2α|.
所以2α2α|. 化简得2或2或α1.
当±2时，轨迹方程为x22=4；当α=1时，轨迹方程为0.
7．和圆有关的问题。
例8  点A，B，C依次在直线l上，且，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，为半径作圆，1和2是这个圆的切线，确定Δ1T2垂心 的轨迹。
[解]  见图10-6，以A为原点，直线为x轴建立坐标系，H为和圆的交点，N为T1T2和的交点，记1。
以A为圆心的圆方程为x22=16，连结1，2。因为22，T12，所以21，同理12，又12，所以12是菱形。所以2。
又因为1T2，11，所以。设点H坐标为（）。
点M坐标为(5, b)，则点N坐标为，将坐标代入，再由得
在上取点K，使，所求轨迹是以K为圆心，为半径的圆。
例9  已知圆x22=1和直线2相交于A，B，且，和x轴正方向所成的角是α和β，见图10-7，求证：(α+β)是定值。
[证明]  过D作于D。则直线的倾斜角为，因为，所以2?,
所以。所以
例10  已知⊙O是单位圆，正方形的一边是⊙O的弦，试确定的最大值、最小值。
[解] 以单位圆的圆心为原点，的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点A，B的坐标分别为A(αα)(αα)，由题设2α，这里不妨设A在x轴上方，则α∈(0,π).由对称性可设点D在点A的右侧（否则将整个图形关于y轴作对称即可），从而点D坐标为(α+2αα)，
所以
因为，所以
当时，1；当时，
例11  当m变化且m≠0时，求证：圆(21)2+(1)2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。
[证明]  由消去m得21==0上。设公切线方程为，则由相切有2，对一切m≠0成立。即(-43)m2+2(21)(1)(1)2=0对一切m≠0成立
所以即当k不存在时直线为1。所以公切线方程和1.
三、基础训练题
1．已知两点A(-3,4)和B(3,2)，过点P(21)的直线和线段有公共点，则该直线的倾斜角