一二维形式的柯西不等式.docx

一二维形式的柯西不等式.docx一二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式
定理1：若a, b, c, d都是实数，则(决+矿)• (4+注)N (ac~\~bd)2,当且仅当ad =施时，等号成立.
二维形式的柯西不等式的推论：
(a+Z?) (c+d
证明：由柯西不等式，得出+外源+於一+①
即•寸决+渎巳3+ b.
同理0 • y]+c^b+ c, ^2 • yja+c^a+c,
将上面三个同向不等式相加，得
y[2 (yj者++ y/a-\~c + yf l}-\~c ) N2 (a+ b+ c), y]a+/} + yja+c + yj甘 y^2 • (a+/?+c).
利用柯西不等式求最值
求函数y=3sin a +4cos a的最大值.
函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值. 由柯西不等式，得(3sin a +4cos <2)2^ (32+42) (sin2 a +cos2 a) =25, 3sin a +4cos a W5.
,, sin a cos a
当且仅当一-—=—-—>0, 即 sin
o 仕
3 4
a="°s。可时取等号，即函数的最大值为
［方法•规律•小结］
利用柯西不等式求最值
变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；
有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧;
而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中， 每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾， 用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.
〃〃，做条初久"
已知2x + y = 1,求2x+ y的最大值.
解：2x+ y=y[2 Xy[2x+1X 点，~①—2+12Xyj_y[2x~~2+y =索 X+y =瑚.
当且仅当时，等号成立・.・.2x+y的最大值为寸5. o
已知2x+3尸1,求4/+9y的最小值.
解：V (4/+9y) (22+22) (4^+6y)2 = 4, .-.4/+9y
当且仅当2X2x=3yX2,即2x=3y时，等号成立.
又2x+3尸 1, 得 x=尸
6
故当日，尸!时，瑟+9尸的最小值为*
求函数f(x)=寸才一6+寸12—x的最大值及此时x的值.
解：函数的定义域为，由柯西不等式，得
(寸 x—6+寸12—x)2W(f+12)=2(x—6+12—x)=12,
即寸x—6 +寸12—xW 2毒.
故当y/x—6=y/12一对寸,即x=9时，函数f{x)取得最大值2y/3.
课时跟踪检测(九)
X.
, yER+,且X尸],则1+- 1+-的最小值为(
B. 2
A. 4
C. 1
=2之=4.
若a, Z?eR,且#+方2=10,则a~b的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.（一盘，^5）
解析：选A G+没）N（3—力）2,
..・寸+没=10, .・.（a一力）2巳20.
——2*\^5 W a.— bW 2*\^5.
已知x+y=l,那么2x+3y的最小值是（）
6 25 36
A. - B ~ C