二重积分的计算方法.ppt

关于二重积分的计算方法
第一页，讲稿共五十八页哦
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本节介绍计算二重积分的方法:
二重积分化为
累次积分(即两次定积分).
二重积分的计算法
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一、利用直角坐标系计算二重积分
页，讲稿共五十八页哦
例
则
提示: 如图 ，
A
设有平面闭区域
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例. 有一个平面薄片, 在 平面上占有区域
其面密度为 ，求该薄片的质量M。
由于积分区域 关于 轴， 轴都对称，且 被积函 数关于 都是偶函数，根据得
解：根据二重积分的物理意义，
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例. 计算
其中D 由
所围成.
解: 令
(如图所示)
显然,
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例. 设 在 连续，且
证明
证明:
补区域 使其与区域
注意到被积函数关于 和 对称，
关于直线 对称。
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例.
设 为取值恒大于0的连续函数，区域
， 与 是两个
非零常数，则二重积分
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解：由于区域 关于直线 对称，可得
从而
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计算
解
积分区域D关于x轴对称,
被积函数关于y为偶函数.
原式=
记D1为D的y≥0的部分.
则
D1
练习
二重积分的计算法
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二、利用极坐标系计算二重积分
两相邻弧半径平均值.
内取圆周
上一点
其直角坐标
则
设为
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得
即
也即
极坐标系中的面积元素
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(1) 积分区域D:
θ
二重积分的计算法
θ
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(2)积分区域D(曲边扇形):
二重积分的计算法
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极坐标系下区域的面积
(3) 积分区域D:
注
一般,在极坐标系下计算:
θ
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解
例
写出积分
的极坐标二次积分
其中积分区域
形式,
在极坐标系下
圆方程为
直线方程为
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解
a
例
计算
其中D是由中心在原点,
半径为a的圆周所围成的闭区域.
在极坐标系下
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解
求反常积分
例
显然有
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又
二重积分的计算法
对称性质
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概率积分
夹逼定理
即
所求反常积分
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解
计算
所围成的平面闭区域.
例
及直线
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解
双纽线
求曲线
所围成的图形的面积.
例
根据对称性有
在极坐标系下
二重积分的计算法
由
得交点
面积
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将直角坐标系下累次积分:
化为极坐标系下的累次积分.
o
x
y
解
练习
原式=
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解
极坐标
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计算
因被积函数
D2
极坐标
例
分析
故
的
在积分域内变号.
D1
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二重积分的计算规律
再确定交换积分次
1. 交换积分次序:
先依给定的积分次序写出积分域D的
不等式,
并画D的草图;
序后的积分限;
2. 如被积函数为
圆环域时,
或积分域为
圆