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上海交通大学硕士学位论文
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目录
第一章 引言 - 2 -
耦合长短波方程的背景 - 2 -
Schrodinger方程的介绍 - 2 -
Kdv方程的介绍 - 8 -
。因此用波函数来描述量子波时，显然应当与描述光束或者电子束的方式有所区别，或者说不能用描述一般平面波的波函数的方法来描述量子波。
分析光子的运动：光子在振动且以光速运动，以位置作为变量，光子的相位随之而变，换以时间作为变量，光子的相位也是随之而变。光子的波幅、一个波动周期内的速度也是在随位置和时间变动的，但是波动量的大小与相位的变动是相关的。因此首先选取相位作为一个波动周期的因变量。
将原来描述光束的函数式()改为描述单个光子的波函数：
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()
函数的值就是相位，单位为弧度。
将上述描述光子相位的函数用三角函数表示：
()
得到的是无量纲数，数值在-1，0，1之间变动，这就是我们描述概率幅的函数。加上适当的常数项A，使得波函数有适当的物理量，将模平方并按一定的物理量积分后，得到的结果是有量纲数，即概率密度：
()
根据 ()式对电磁波的函数表达式，按照式 ()的通用波动方程，可以建立一个电磁波的波动方程：
()
方程中E表示什么呢?根据前面对一般波函数与波动方程的转换分析我们知道，这个E无法代表电场强度，因为由波函数转换为波动方程的过程中，电场强度常量E已经消失了，现在这个E函数计算得到的值是无量纲数，在一定条件下按归一化处理后可以有一定的物理量纲，就是概率幅。由此可见，即使人们将波动视为量子的出现概率的似波性，在进行归一化处理之前，波动方程并不能完整地描述量子的波动状态，因为波动方程计算出来的概率幅数值在-1,0,1之间变动，必须考虑行程、波数等因素，进行适当的转换后才能得到实际波动的概率幅数值。因此归一化处理，实际上是使波动方程描述的物理现象回归实在的波动。笔者将在后面的实例中进一步说明，波动方程加上波动的边界条件，再加上归一化处理，是可以描述量子实在的。
二． 薛定谔方程
建立描述电子运动的波函数
既然电子的运动可以形成波，那么应当如同描述光子的波动一样，有一个波动方程描述电子的波动。参照前面描述光子的波动方程()式建立描述电子的波函数：
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上式是量子单位制形式。将上面的波函数按下式描述为经典形式：
由于动量，即动能／速度。能量E=，此处表示电子库仑势能。普朗克常数h=1，
()
将电子的波函数改写为复数形式并进行微商
将()式改写为复数形式：
()
这里为了波函数的完整性加上了A，在后面进行微商处理时A自然消失，而在归一化处理时A又回到公式中，那时它的物理意义与我们进行归一化处理方式有关。
将上述函数对时间微商得：
()
将上述函数对坐标微商得：
()
为了将能量E引入，将()式再对x求一次偏导，得到：
()
转换中用上的公式，是由德布罗意波的动量与能量关系决定的。
得到薛定谔方程
由()式得到：
()
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由()式得到：
()
将()式与()式连接起来，就得到自由粒子的一维含时不计算势能的薛定谔方程：
()
如果考虑到量子的库仑势能，得到一维含时的薛定谔方程：
()
将上式扩展到三维，得到三维含时的薛定谔方程：
()
如果不考虑时间因素，得到三维定态的薛定谔方程：
()
其中：
简化为一维定态的薛定谔方程：
()