函数矩阵与矩阵微分方程.ppt

关于函数矩阵与矩阵微分方程
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称为函数矩阵，其中所有的元素
都是定义在闭区间 上的实函数。
函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等有交换律，所以
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(5) 如果 与 均可导，则
(6) 设 为矩阵函数， 是 的纯量函数， 与 均可导，则
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定义： 如果函数矩阵 的所有各元素
在 上可积，则称 在 上可积，且
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函数矩阵的定积分具有如下性质：
例1 ：已知函数矩阵
试计算
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证明：
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由于 ，所以
下面求 。由伴随矩阵公式可得
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再求
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例2 ：已知函数矩阵
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试求
例3 ：已知函数矩阵
试求
证明：
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同样可以求得
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例4 ：已知函数矩阵
试计算
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函数向量的线性相关性
定义：设有定义在区间 上的 个连续的函数向量
如果存在一组不全为零的常实数
使得对于所有的 等式
成立，我们称，在 上
线性相关。
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否则就说 线性无关。即如果只有在 等式才成立，那么就说 线性无关。
定义：设 是 个定义在区间 上的连续函数向量
记
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以 为元素的常数矩阵
称为 的Gram矩阵，
称为Gram行列式。
定理：定义在区间 上的连续函数向量
线性无关的充要条件是它的Gram矩阵为满秩矩阵。
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例 ： 设
则
于是 的Gram矩阵为
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所以
故当 时， 在 上是线性无关的。
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定义： 设
是 个定义在区间 上的
有 阶导数的函数向量，记
那么称矩阵
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是