极限计算方法总结.docx

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极线的运算法则班级：
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〈高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是〈高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到
〈高等数学》后面内容的学习。
(定理6)求极限1
例4limx2exXT21
2一
解：因为X。=2是函数f(x)=xex的一个连续点，1
所以原式=22e2=4-,e。

1-cosx
例5lim2—J°3x
2sin2-解：原式==lim-J0x2
12(^)
注：本题也可以用洛比达法则。
2例6lim(1-3sinx)x
^^0
1解：原式=lim(1-3sinx)°sinxx>0
_6sinxx~
1_6sinx
lim[(^3sinx)^^]^=厂6。
例7lim(n—・
n-2nn1〉
解：原式=
_3-eo
n+lJ3nlim(1色尸mn-''n1n*-3nlim[(1二^尸]n1n)
2求极限例8limx
X—

sin
x
解：原式=0
（定理2的结果）。
（定理4）
求极限
limxln(1竽
xtarctan(x)
解：
x>0时，In(13x)〜3x,22arctan(x)〜x,
原式=lim^0容3。
x
—sinx/
e(x-sinx)lim
x=°x-sinx
=1
。
xsinx
e—e
例10limxtx—sinx
.sinxx-sinxe(eT)
解：原式=limxt°x—sinx
注：下面的解法是错误的原式=lim^^0
xsinx(e-1)-(e-1)x-sinx
x-sinx二limx刃x-sinx正如下面例题解法错误一样
tanx—sinxlim3x卩x3
3xmeHX11
例
tan(x2sin)xsinx
AAA解：；当x>0时，x2sin—是无穷小，tan(x2sin—)与x2sin—等价,
xxxsin-所以，原式=lim^^01二limxsin0
xax（最后一步用到定理2）

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小
代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用
例12lim1^c(2sx(例4)解：原式=limxt°
sinx6x
（最后一步用到了重要极限）
例13limxT
C°s2
x-1
解:原式=回
兀兀Xsin-221
例14lim
x—^0
x-sinx
3
解：原式=lim匕学=lim牠
xt°3x76x
1
。（连续用洛比达法则，最后用重要极
6
限）
例15
sinx-xcosx
2
x
sinx
解：
原式
sinx-xcosx
lim
x)0
=lim2
x>0x
xsinx
cosx-(cosx-xsinx)
3x2
=lim
x>0
3x2
例18lim0[