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椭圆知识点知识要点小结:知识点一:椭圆的定义
,
平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1PF22aF1F^)点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距
注意:假设
PF1的焦点坐标也不相同。规律方法:
何确定椭圆的标准方程?
任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件a,b;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
,b,c的几何意义
椭圆标准方程中,a,b,c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:(ab0),(ac0),且(a2b2c2)。
可借助右图理解记忆:
显然:a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边。
3•如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上,因此标准方22
程,
标
2
轴上。
By2C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件
方程Ax2
By2
C可化为
Ax2
By2
C
By2
C
B
1,所以只有A、B、C同号,且AB时,方程
判断焦点位置的方法是:看x,y的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐
表示椭圆。当-
A
C时,椭圆的焦点在x轴上;当CC时,椭圆的焦点在y轴上。
BAB
:
①待定系数法:由条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标
准方程,再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型,再定量〃;
②定义法:由条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
6 •共焦点的椭圆标准方程形式上的差异x2y2x2y22
共焦点,那么c相同。与椭圆—21(ab0)共焦点的椭圆方程可设为—21(mb),abambm
此类问题常用待定系数法求解。
7 •判断曲线关于x轴、
y轴、原点对称的依据:
①假设把曲线方程中的
x换成x,方程不变,那么曲线关于
y轴对称;
②假设把曲线方程中的
y换成y,方程不变,那么曲线关于
x轴对称;
③假设把曲线方程中的
x、y同时换成
y,方程不变,那么曲线关于原点对称。
8 •如何求解与焦点三角形△PF1F2〔P为椭圆上的点〕有关的计算问题?
思路分析:与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理〔或勾股定理〕、三角形1
面积公式SPF,F2-|PF1PF2sinF1PF2相结合的方法进行计算解题。
2
将有关线段PF1、PF2、RF2,有关角F1PF2(F1PF2F1BF2)结合起来,建立PF1|PFj、丨PF1|PF2
之间的关系
?
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。
C2
离心率e—(0e1),因为c2
a
22
ab,ac0,用a、b
表示为e
1(-)2(0
a
1)。
b
显然:当一越小时,e(0
a
1)
b
越大,椭圆形状越扁;当一越大,
a
e(0e1)越小,椭圆形状越
趋近于圆。
椭圆及其性质
1、
椭圆的定义
F2的距离的和等于常数〔大于|F1焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
〔2丨一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个中定点叫做焦点,定直线叫做准线,
〔1〕平面内与两个定点
F1,
F2|〕的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫椭圆的
(0,1)内常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆•其
2、椭圆的标准方程
常数e就是离心率-
xacos,/,,
3、椭圆的参数方程ybsin(为参数)
4、离心率:椭圆焦距与长轴长之比-e-e
1(:)2-0e1
椭圆的准线方程
a
a2
a2
左准线h:x
右准线l2:X
c
c
yr.
〔二〕、”椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式:
〔左焦半径〕Aaexj
〔右焦半径〕Daex0
其中e是离心率+
焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式:
MF1aey0〔其中F「F2分别是椭圆的下上焦点〕*
MF2aey0
〔三〕、…?嚏匚直线与椭圆问题〔韦达定理的运用〕1、弦长公式:
假设直线l:ykxb与圆锥曲线相交与A、B两点,A(%,yj,B(X2,y?)那么弦长AB(xix?)2(yiy?)2辰__X2T__(kX1__
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