三角函数图像变换顺序详解.docx

题根研究
《图象变换的顺序寻根》
一、图象变换的四种类型
从函数y = f (x)到函数y = A f (5工+①)+mn,其间经过4种变换：
1. 纵向平移 —— m变换 —— A变换
4.
（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反一一
如当中<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）
（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反一一
如|为> 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”
【答疑】 对于（2）, （3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A
f （①支+ *）+m中x和y的地位在形式上“不平等” 程式
加（y+/） = f （6元+g）,则x、y在形式上就“地位平等” 了 .
v = 1 +2x-— （v — 1） = sinf ）
如将例i中的,4变成m 、r
它们的变换“方向”就“统一” 了 .
对于疑问（1）:在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量
有变”这是因为在“一次”替代：X”3支+印中，平移是对x进行的.
故先平移（X”工+中）对后伸缩（“3支+中）没有影响；
但先收缩（X-⑦汽）对后平移（“85 +啕=5区+0中）却存在着“平移”相
71
M-71的4孔
（在例1的解法2中）后平移" 4时，有下028
的原因.
【说明】 为了使得4种变换量与4个参数（A, 3 , W, m对应，降低“解 题风险”，在由sinx变到Asin （ s及+甲）（施＞ 0）的途中，采用如下顺序：
（1）横向平移：xfx +中
（2）横向伸缩：X+3 - 3X+B
（3）纵向伸缩：sin （公工+中）f Asin （①工+中）
（4）纵向平移：Asin（①"邙）f Asin （①久+邙）+ m
这正是例1中解法1的顺序.
二、正向变换与逆向变换
如果把由sin x到Asin （?久+4'）+m的变换称作正向变换，那么反过来，由 Asin （ 6了+中）+m到sin ，逆向变换的“顺序”是正 向变换的“逆”.
因为正向变换的一般顺序是：
（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.
所以逆向变换的一般顺序则是：
（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移
71
71
如将函数y= 2sin (2 -3 ) +1的图像下移1个单位得y=2sin (2 x—耳)，再将
71
纵坐标缩小一半得y= sin(2 x — 3 ),再将横坐标扩大2倍得y= sin( x—3 )，最
7T
后将图象左移3得函数y= sin x.
兀
【例2】 将y = f (x) - cos x的图象向右平移彳，再向上平移1,所得的 函数为y=2sin 2 x .试求f ( x)的表达式.
【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序 ^
【解析】 将y = 2sin 2 x下移1个单位(与正向变换上移1个单位相反)，
7171
得 y = 2sin2x —1,再将2sin 2x- 1左