正方体“异面点”截面的作法问题.docx

正方体"异面点"截面的作法问题
高二十班史威、冯心怡
【引言】：
用平而去截一个几何体，所截出的而，就叫截而。可以想象，类似于用刀去切(截)几何体, 把几何体分成两部分，刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状，截面是一个平面图形。在医 而转化为棱上的点的问题；若已知点在体内，则可通过辅 助平而使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来 解决。
4■具体题目分析：
已知：P、Q、R三点分别在宜四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和AB卜“试画出过P、Q、 R三点的截面.
方法一；
⑴先过R、P两点作辅助平而。过点R作RlRz/BBl 交A1B1 }■ R1,则而CRR1C1为所作的辅助平而。
⑵在而CRR1C1内延长RlCl,交RP的延长线于M。
⑶在而A1B1C1D1内，, 延长MQ交B1A1的延长线于点To
⑷连接TR,, 再连接KP交BC于点L。
⑸连接RL、PS、QNo
则多边形QNRLPS为所求。
方法二
⑴先过Q作QE〃AA1,联结RE、QR
⑵联结AC交RE于0点
⑶过0作FO〃QE,交QR于F点
(4)<
⑴联结PF并延长，交AA1 G
⑹联结GQ并延长，交DD1于」
⑺联结」P，交ClDi于H,延长线交DC延长线
T K
(8)联结KR,交BC于I
⑼联结RGQHPC
则多边形RGQHPC为所求
方法三2
⑴
⑴过Q作辅助平而QGHL平行于ADDlAl
⑶联结RCl,交GH F K,联结RPo
⑷过K作KI^CCl交RP于I,这点便是RP与辅助 平面的交点。
⑸联结QI并延长交平面CDD1C1于M,过F、E 分别作QI的平行线，交BC、AA1 ]■ E、F
⑹联结PM交C1D1 J-J
⑺联结JREQFP
ir J H R
/ i
::
J <
/ :
A
E'
/氏
i
则多边形JREQFP为所求
二-空间向量法：
接下来让我们从解析儿何的角度来思考：如图的M、N、P三点所构成的平 面在正六面体ABCD-A1B1C1D1上的截面是怎么样的
肖先，以点A为坐标原点，亦/%轴正方向；；^动『轴正方向石；为乙轴正方向。
可得4(0,0,0)。设：P(R,yi,0),M(0,y2,Z2),N(X3,0,Z3) 先看该平面在面ABCD、CDCTT上的截面
如右•图，作平面MQPS//面A1B1C1D1 设直线NP与平面MQPS交于点H •••直线NP在y-z面内的射影直线为
A'
zr
y = (z-23)•(-—)；
Z3
直线NP在x-z面内的射影直线为
X3 一 XI
X =XI + z
Z3
且面MQPS上所有点在z轴坐标均为Z2
X3 - XI Z3 —Z2
二 H\ 22 + Xl, yi,Z2
I Z3 Z3
乂 •••半面 M QPS//半面 ABCD
过点 P 作 PK//HM 交 CD J■- K,联结 MK 则賦=皿=（兀37小一戶皿
（X3-JVI）-Z2 + XPZ3
Z
A；-
♦
X
乂丁 P（xh vl）
B
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P.