线性代数概念的几何意义课件课件.ppt

关于线性代数概念的几何意义课件
第一页，讲稿共三十页哦
主要内容
二元、三元线性方程组的几何意义
二阶、三阶行列式的几何意义
平面上线性变换的几何意义
二阶矩阵特征值的几何意义
中向量组的线性相关性的几何意义
第二页，

由这三个向量所构成的平行六面体的体积即为
三阶行列式的绝对值 （如图）
第十五页，讲稿共三十页哦
平面上线性变换(y=Ax)的几何意义
例3 已知向量及矩阵




请分析经过线性变换 后，向量
与原向量 的几何关系 。
第十六页，讲稿共三十页哦
绘制图形如下图所示：

图3 线性变换的几何意义
第十七页，讲稿共三十页哦
，
其四个顶点的数据可写成


把不同的A 矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果 Ci = AiB。
令B=（X1，X2，X3，X4），则
AiB=Ai(X1,X2,X3,X4)=（AiX1，AiX2，AiX3，AiX4）
第十八页，讲稿共三十页哦
用MATLAB程序进行计算，并画出B及C图形：

B=[0,1,1,0;0,0,1,1];
subplot(2,3,1), fill([B(1,:),0],[B(2,:),0],'r')
A1=[-1,0;0,1],C1=A1*B
subplot(2,3,2), fill([C1(1,:),0],[C1(2,:),0],'g')
第十九页，讲稿共三十页哦
绘制几何图形可得：
第二十页，讲稿共三十页哦
对二维空间（平面），行列式的几何意义实际上是两个向量所构成的平行四边形的面积。
一个变换所造成的图形的面积变化，取决于该变换矩阵的行列式,A1 ,A4 和A5 的行列式绝对值都是1，所以变换后图形的面积不改变。而A2 和A3 ，变换后图形的面积的增加或减少倍数等于对应行列式的绝对值。
平面上线性变换的几何意义
第二十一页，讲稿共三十页哦
图像变换中的示例
在二维的图像变换模型中，最基本的图像变换有平移、旋转、缩放（包括各向同性和各向异性）、反射和错切。由这些基本的图像变换组合，可以得到刚性变换、相似变换、仿射变换、透视变换等复合变换。
第二十二页，讲稿共三十页哦
二阶矩阵特征值的几何意义

求它们的特征值和特征向量，并绘制特征向量图，分析其几何意义。
解： 在MATLAB命令窗口输入：
A1=[-1,3;2,5];
[V1,D1]=eig(A1)
eigshow(A1)
A2=[1,-2;-1,5];
[V2,D2]=eig(A2)
eigshow(A2)
A3=[1,2;2,4];
[V3,D3]=eig(A3)
eigshow(A3)
A4=[2,-1;3,2];
[V4,D4]=eig(A4)
eigshow(A4)
第二十三页，讲稿共三十页哦
当用鼠标拖动向量 顺时针旋转时， 也开始旋转。向量 的轨迹为一个圆，而向量 的轨迹一般情况为一个椭圆。同理，可以对其它三个矩阵进行同样的操作，绘制图形如图5所示。
绘制图形如图所示
图5 特征值及其演示
第二十四页，讲稿共三十页哦
第二十五页，讲稿共三十页哦
函数eigshow(A)描述了向量 随向量 的变
换关系：
当向量 在旋转的过程中，如果向量 与向量 共线(包括同向和反向)，则有等式
为一实数乘子， 为正表示两个向量同向， 为负表示两个向量反向。人们把向量 与向量 共线的位置称为特征位置，其中实数 就称为矩阵的特征值，而此时的 即为矩阵 的属于 的特征向量。
特征值表示线性变换Ax在特征向量x方向上的放大(缩小)量。
第二十六页，讲稿共三十页哦
针对矩阵 ，当向量 顺时针旋转时，向量 逆时针旋转，则矩阵 存在(一正一