高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)(共14页).doc

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高考数学中的内切球和外接球问题
，求出，所以，故B、C两点间的球面距离是.（如图5）
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图5
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A. B. C. D..选C.
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

例4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 .
解 设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得.
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又，∴球心必在所在的直线上.
∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在中，由，得.
∴.
∴是外接圆的半径，.
小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，.
五 .确定球心位置法
例5 在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为
A. B. C. D.
解 设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴.
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出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，,求球的体积。
解：且，，，,
因为 所以知
所以 所以可得图形为：
在中斜边为
在中斜边为
取斜边的中点，
在中
在中
所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心

所以该外接球的体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
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A． B． C． D．
答案　B
2. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若
,，则此球的表面积等于 。
解:在中,,可得,由正弦定理,可得
外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.
3．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱
柱的体积为 　　．
答案 8
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A． B． C． D．
答案 A
【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由
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知，
，则此球的直径为，故选