高数一知识点.docx

.
、极限
数列极限lim xn
n n
函数极限lim f (x)，
x
lim f (x)， lim f (x)
x x
lim f (x)，
x x
lim f (x)，
X x.
lim f(x)
X
a
2
求不定积分的方法
In | x . x a | C.
1. 直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式。
2. 换元法：第一类换元法（凑微分法）
第二类换元法（变量代换法）
f(x)dx
f( (t)) (t)dt
F(t) C F[ (x)] C.(注意回代)
换元的思想: 主要有幕代换、三角代换、倒代换
3. 分部积分法
V的优先选取顺序为：指数函数；三角函数；幕函数
第五章定积分
一、概念

b
f(
n
x)dx lim
f ( i ) x,
max{ xi}
a
0 i
1
：
设f
x 、
g x 在 a,b
）区间上可积，则定积分有以下的性质
(1).
b
dx
a
b
a ;
b
b
b
(2).
mf
a
x
n g x dx
m & f (x)dx
n ag(x)dx ；
b
c
b
(3).
af(x)dx
af(x)dx
cf(x)dx ；
(4).
若在
a,b
上, f x
b
0，则 f (x：
a
)dx 0 ；
推论1.
若在a,b 上,
f x g x
b
，则 f (x)dx
a
推论2.
b
b
|
f (x)dx|
a
|f(x)|dx (
a
a b)
f x在区间
f x
a, b上可积，且 m
M，则
若函数
(5).
b
a g(x)dx
x
f （t）dt及其性质
(1)
•如果
(3).
如果
b
f (x)dx f b a •
a
f x，或 dx
(x)
0 f(t)dt，则
(x)
(x)f(t)dt，
(x)
(x) f(t)dt)
x
af (t)dt
(x)
f(t)dt)

（1）.无穷限积分
f x
x f
x x .
t
f x dx
a
收敛
（极限存在）
发散
（极限不存在）
b
f x dx
t
收敛
（极限存在）
发散
（极限不存在）
0
xdx tlim
f x dx tlim
f x dx收敛的充分必要条件是反常积分
dx、
f x dx同时收敛，并且
在收敛时，有
（2）.瑕积分
a为瑕点
dx
f x dx
lim
t a
dx
dx
dx •
b为瑕点
dx
lim
t b
dx
c为瑕点
dx收敛
c
f x dx
a
二、计算
（一） 定积分的计算
1、微积分基本公式:
设函数 f x
b
f (x)dx F
a
2、换元法：设函数
①在区间
收敛
发散
收敛
发散
（极限存在）
（极限不存在）