长沙理工线性代数答案.doc

长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称: 线性代数试卷编号:1 一、判断题(正确答案填√, 错误答案填× 。每小题 2 分,共 10 分) 1,×2,×3,√ 4,× 5,√二、填空题: ( 每小题 5 分,共 20分) 1, 42;2,0??X ;3, 相关,相关;4,4,1, 4. 三、计算题(每小题 10 分,共 60 分) 1211 1121 1112 =2115 1215 1125 1115 =52111 1211 1121 1111 (5分) =51000 0100 0010 1111 =5(5分) 2.)(bA ?????????????????? 4 3 2 11001 1100 0110 0011a a a a (2 分) ???????????????????? 4321 3 2 10000 1100 0110 0011aaaa a a a (5 分) 若有解,则 A 的秩与)(bA 的秩相等,即 4321aaaa??? 0?。(3 分) 3.????????????????????????????????????????????????2000 6720 12114720 6720 1211124 4302 1211 4 2??? rrrr rr (6分) ∴(1) 当2??时,矩阵的秩为 2;(2 分) (2) 当2??时,矩阵的秩为 3.(2 分) 第1 页(共 3 页) 4. 对系数矩阵作作初等行变换?????????????????????????????1100 1100 121122111 3322 1211 13 12rr rr??????????????????????????????0000 1100 301120000 1100 1211)1( 21 23 2rrrr r 得同解方程组??????? 423 4210 3xxx xxx 令?????????????????0 1 4 2x x ,????????1 0 ;得?????????????????0 1 3 1x x ,?????????1 3 基础解系为: ???? T T1103,0011 2 1????? 5. 解: ∵A 与B 相似, ∴特征多项式相同,即 EBEA?????亦即xyyx EA31 ) )(22 ( 31 22?????????????6)4 )(1(43 21??????????????EB6)4 )(1( 31 ) )( 22 (????????????xy 17 , 12?????yx 6. 解: f 的矩阵为?????????????521 21 11a aA ∵f 为正定二次型, ∴A 的各阶主子式大于 0. 即1 11?a >0,2 22 21 12 1111 1aa aaa aa???>0)45(521 21 11??????aaa aA >0第2 页(共 3 页) 解联立不等式组 21a?>0或)45(?aa <01??<a <1 或54?<a <0 5 4??<a <0 即当5 4?<a <0 时, f 为正定二次型. 四、证明题( 10分): 证明:设存在一组数 321,,kkk 使得0)()( 321321211????????????kkk0)()( 3322 21 1321????????