分类讨论，谨防漏解.doc

分类讨论，防止漏解
朱 绍 平
单位：永安中学
二○○五年十一月
分类讨论，防止漏解
分类讨论求解是一种重要的数学思想方法,学生在解答有关题目时，常因考虑不
分类讨论，防止漏解
朱 绍 平
单位：永安中学
二○○五年十一月
分类讨论，防止漏解
分类讨论求解是一种重要的数学思想方法,学生在解答有关题目时，常因考虑不周，造成漏解、以偏概全的错误。现举出几例进展剖析。
一、按零点分类
例1．化简︱x—1︱+︱x—3︱。
错解:原式＝x—1+x-3=2x—4 。
剖析：解含多个绝对值符号的题最常用也是最一般的方法是用零点分段法进展分类讨论，即令各绝对值代数式为零,得假设干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简即可。上面解法只是其中一种情况。
正解：令x—1=0或x—3＝0，得零点x＝1或x＝3共两点,将数轴分成3个部分，即x≤1,1＜x≤3,x＞3，讨论得
4-2x，(x≤1）
)
原式= 2， （1＜x≤3
2x-4.（x＞3）
二、按性质分类
例2．解方程（x+1）2＝（2x-1）2。
错解：两边开平方，得x+1＝2x-1，解之得x＝2。
剖析：由平方根的意义可知，两个数的平方相等，这两个数可能相等,也可能互为相反数，应分两种情况讨论,错解只得到了这两数相等，就漏掉了一种情况，于是漏掉了一个解。这里，一般的做法是通过先移项,再运用因式分解法求解，便无需讨论就能得出答案x
1＝2，x2＝。
例3．假设5a+1和a-19是数m的平方根，求m的值。
错解：因5a+1和a—19都是m的平方根，那么它们互为相反数，即5a+1+a-19＝0,a=3，所以5a+1＝16，a-19=—16,因此m=（±16）2＝256。
剖析：错解只注意5a+1和a-19互为相反数，而忘记了它们还可能相等,因此此题需分两种情况来讨论。
正解：①当5a+1和a-19互为相反数时，解法同上，m＝256；
②当5a+1=a—19时，a=—5，那么5a+1＝-24，故m＝（—24）2＝576。
综合①②可知，m＝256或576。
三、按存在性分类
例4．假设一个直角三角形的两边长分别是5cm和12cm，那么这个三角形的周长是多少?
错解：在△ABC中，∠C＝90°,AC=12cm，BC＝5cm，那么由勾股定理得AB＝，所以C△ABC＝AB+BC+AC＝13+5+12＝30（cm）.
剖析:题中只交待了直角三角形的两边，并没有说明是两条直角边，它也可以是一条直角边和一条斜边,因此应分两种情况分类求解：
①当5cm和12cm为两直角边时，解法同上；
②当12cm为斜边时,另一直角边为,此时C△ABC＝17+（cm）。
因此△ABC的周长为30cm或17+cm。
例5．在△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD=4，求CD和sinC.
错解：CD=10,sinC=.
剖析：题目中没有画图，作题时应首先画出符合条件的所有情况的图形，，一