二重积分的计算方法.docx

在直角坐标系下，被积分函数(x,y)
1(x)x2(x),axb,
f(x,y)d
bdxa
2(x)1(x)EM；
(1)
若D为y型区域(如图2),即D
(x,y)i(y)y
2(y),cyd
1(y),2(y)在[c
dxdyD
分析
3x

D:xy
积分区域的处理与上题类似,
应到uv平面上的矩形区域
u,v
u,v
u-4dudvv
21,xy3,y
dv_4v
nudu=m
x,y23x所围区域.
可以做变量替换
T:u
xy,v
2匕，它把xy平面上的区域D对
xyy2x
在变换T作用下，区域D的原像所以
u,v
u3,1
u,v
1
3v
3x…
dxdydyxy
—11dudv
vuv3v
3
dv
i
du
1vvuv
-ln2.
3

当被积函数含有fx2y2、f^或f〜形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较
方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换
xrcosT：yrsin，°,02
这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的,但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r.
（1）如果原点0D，且xy平面上射线常数与积分区域D的边界至多交丁两点，则必可表示为ri则有
fx,ydxdyD「2rifrcos,rsinrdr(5)那么则有那么类似地，若xy平面上的圆r常数与积分区域D的边界至多交丁两点，则必可表小为
(2)(3)分析如果原点如果原点计算Ix,ydxdyr2
rdr「irrfrcos,rsind(6)。为积分区域D的内点,D的边界的极坐标方程为rr
fx,ydxdy0Dr_frcos,rsinrdr(7)O在积分区域D的边界上，则
fx,ydxdydDfrcos,rsinrdr(8)』，其中D为圆域:
xy观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为f(x2
y2）,且原点为D的内点，故可采用极坐
xrcos标变换T:
yrsin,0,0,可以达到简化被积函数的目的.
则有解作变换
xT:
yrcosrsin,0,0
11.
rdr0■2
.1r1d2d00ydxdy,,y0,y2,以及曲线xD而2y[2y2所围成
积分区域D与D1据极坐标变换简化区域，D1为半圆区ydxdy
dx22°dy4,DDiD1:02sin
故原式2sin
ydxdyDirsinrdr8sin4d32%，作如下广义极坐标变换：
arcos,0
brsin,0
并且雅可比行歹0式Ju,vabr同样有x,ydxdy
farcos
,brsin
(9)
22
例9计算Ic/gdxdy,其中
abrdrd
1二,0xa
Dx,y0yb
分析根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换arcos,0r1brsin,0
,可以达到简化积分区域和被积函数的目的.
2作广义极坐标变换Ju,vabr
xarcos,0T:
ybrsin,0由（9