证
例1
设
即
解：
1、公式推导
1
2、实际操作步骤：
上例中，要凑出dv，是个逆向思维的过程，这里试给出一
个“程序”，使思维更加流畅。
（1）使用第一类换元积分法凑微分证
例1
设
即
解：
1、公式推导
1
2、实际操作步骤：
上例中，要凑出dv，是个逆向思维的过程，这里试给出一
个“程序”，使思维更加流畅。
（1）使用第一类换元积分法凑微分（见上节）
（2）如果结果可以用换元法解，则求出原函数；若不能积
出，则试用分部积分公式代入。
（3）要注意优先凑微分的顺序：
指数函数、弦函数 优先于 幂函数；
幂函数 优先于 对数函数、反三角函数。
如，例1中：若先把x凑微分，则有：
可以看出：最后面的积分与原来的积分属于同一种类型，而
且幂函数因式的次数还增高了，积分结果将难以求出。
2
例3
被积函数是幂函数与指数函数或者弦函数的乘积，
应该先将指数函数或者弦函数凑微分。
解
例4
基本题型Ⅰ
例2 求
解：
3
解
例5
被积函数是幂函数与对数函数或者反三角函数的乘积，
应该先将幂函数凑微分。
基本题型Ⅱ
例6
解
4
例7*
解
例8
解
5
例9
解
法1
是不是优先凑微分的顺序出了问题？换过来试一下：
法2
两种方法都出现了“循环”，移项可以把该积分“解”出来。
注意：移项时应该给等式的右边添加任意常数 C
被积函数是指数函数与弦函数的乘积，可选任一函数凑微分。
基本题型Ⅲ
6
例10
解
移项得
7
下面也是出现“循环”的例子。
解
移项、两边同除以系数，得
例11
8
例12
解
分部积分法
解
例13求
9
课后思考与练习
一、求下列不定积分
二、设
10
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