内切球与外接球习题讲义.docx

立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究
1球与柱体
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态
进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
则有 R+r =
1 33
R = -a,r = -，建立含有两个球的半径的等量关系进行
412
，球心 。，可为解题
是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式:
带来极大的方便
是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱
锥的外接球的球心。如图 5,三棱锥Ai - ABiDi的外接球的球心和正方体 ABCD - AiBiCiDi的外
44、壬人、儿皿-3
接球的球心重合，设 AAi = a ,则R = — a 。
2
二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心
就是三棱锥的外接球的球心，R2

a b c
I2,।z
一（I为长方体的体对角线长）
4
例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为
A 73 + 2而 B 2+ 246C 4+ 276D4m+2店

"容器四面体产中的这四个小球，以四个＜, 这个四面体的高是 “单位正四面体”高 工哼）的豆储即为考5.“球心正四面体R的面到 川苕寓正四 面体”的地面为小球半径1-而“球心正四面体”顶点至11 "容器正四面体”的顶点的距离为3「卜球半径的 3 于是“容需正四面体口的高为档5+3 + 1,选择 d [这个 小卜球半径的3倡皿是这样短的।做一个小
例5 在正三棱锥 S-ABC中，M、N分别是棱 SC、BC的中点，且 AM，MN ,若侧棱
SA=2石，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是
球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是
中心到地面距离的3倍.]

球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，
二技铤工-ABC外接球的表面积是
*即5二_1_津艮文
干呈跖_1_平面区4c 砺 J_££'U
此时F三株位 牙-金百匚的三条侧悟一相垂直并n相等，故悟
1E三棱修补形为正方体
R = ^.SAr R = 3. S = A^R1 = 367T 2
球的半径
球与正棱锥
球与正棱锥的组合，常见的有两类，
一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造 直角三角形进行求解.
二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个
面的距离相等，都为球半径R .这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体
积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积^
例6在三^^锥P —ABC中，PA = PB=PC= V3,侧棱PA与底面ABC所成的
角为60 ° ,则该三棱锥外接球的体积为（）
解：如图7所示，过尸点作底面松C的垂战，垂足为设刊为外接球的球心，连接⑷因
/FAO = &=出、故 A0 = —,尸。三一，又△ AHO 为直角三角形『
22图7
AH^PH^r. AH2 = AO1^OH2,

球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进行
求解。
例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置。
如图8,三棱锥S—ABC,满足SA，面ABC , AB-L BC ,取SC的中点为O,由直角三角形的
SC
性质可得：OA=OS=OB=OC,所以。点为三棱锥s—ABC的外接球的球心，则R =.
2
B图S
例7矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直一面角 B —AC —D,则四
面体ABCD的外接球的体积是（）
A 125^B 125^C 125^D 125 T