泰勒公式 (2).doc

泰勒公式的教学方法讨论和应用
摘要:泰勒公式是高等数学中的一个重要内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单地多项式函数，这种化繁为简的作用，使它成为数学研究中的重要工具。 它的理论方法也成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺) 式中用一次多项式近似计算函数值时所产生的误差仅是比
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高阶的无穷小，因此为了进步近似程度，我们自然希望能用一个次数更高的次多项式来代替所给的函数。事实证明这个想法是正确的。 这就是下面的定理。（精品文档请下载）
定理2。1 [1] 设在点具有阶导数,即存在,那么存在的某个领域,对于该领域内的任一点，有
（）
这里我们称为皮亚诺型余型，（2。2)式称为带皮亚诺型余项的泰勒公式。 多项式
称作在处的泰勒多项式. 当时，称(）式为的马克劳林公式。
证明 设
.
令 .
这两个函数在内有阶导数。 又因为
,
，
所以当时，应用洛比达法那么次，并注意到存在，那么有
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即当时，
这正是所要证明的。
在使用公式(2。2）作近似计算时，不能详细估算出误差的大小. 因此我们希望对此公式进展改造，使其不仅有较高的近似程度，又便于进展误差估计。 这就是下面的泰勒定理的另一种形式。（精品文档请下载）
[2] 假设函数在上存在存在直至阶的连续导数，在内存在阶导数，那么对任意给定的，，至少存在一点,使得（精品文档请下载）
。 （）
证 作辅助函数
，
,
所要证明的(2。3)式即为
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不妨设，那么和在上连续，在上可导，且
，
.
又因,所以由柯西中值定理证得
,
其中。
（）式同样称为泰勒公式，它的余项为
，

称为拉格朗日型余项。 所以（)式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。
注意到时，（）式又即为带有拉格朗日中值公式
.
所以，泰勒定理可以看作拉格朗日中值定理的推广。
当时，得到泰勒公式
. （2。4）
（）式称为（带有拉格朗日型余项的)麦克劳林公式.
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泰勒公式的应用
泰勒公式在近似计算中的应用
利用泰勒公式可得到函数的近似计算式，利用马克劳林展开得到函数的近似计算式为:。 其误差是余项。
例3。1 计算的值，使其误差不超过.
解 令,由,得到
有:
故,
当时，便有：
从而略去可求得的近似值为：
3。2 泰勒公式在极限中的应用
例3。2 求.
解 由（2。2)式容易得到
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故令时，有
，
于是.
所以。

利用泰勒公式求幂级数的展开式
利用根本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.
.
例3。3 求函数的幂级数展开式.
解 由于
所以的拉格朗日余项为,
显见,它对任何实数，都有，
因此，，
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所以.
利用泰勒公式求函数的高阶导
，求.
解：先写出的阶泰勒公式，当时，有
的阶泰勒公式为：
比较两式可知，那么有。
利用泰勒公式判断敛散性
例5 判断级数的敛散性。
解 由泰勒公式有
所以
而发散,又，
所以收敛,故发散。
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3。6 泰勒公式在无穷小中的应用
泰勒公式展开后,通过比较各阶的系数，列方程组求解,可以确定无穷小的阶数和表达式中的系数.
例3。6 ：当时，相对于的三阶无穷小，求的值。
分析：将函数和分项展开后和比较系数联立建方程组求解.
解 首先将函数展开，
所以

.
3。7 利用泰勒公式证明不等式
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在条件或结论中含有高阶导数时，一般使用泰勒公式证明. 写出比高阶导数低一阶的泰勒展开式，然后恰中选择等式两边和（不要认为展开点一定以为最适宜,有