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8 函数的单调性
教材分析
函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联络在一起．在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和进步．这节通过对详细函数，可以发现:y＝2x在（－∞,＋∞)上、y＝x2在（０,＋∞）上的图像由左向右都是上升的;y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（－∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降"反映了函数的一个根本性质——-单调性．那么,如何描绘函数图像“上升"或“下降"这个图像特征呢?
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以函数y＝x2，x∈（－∞,０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f（x）反而减小”，如何量化呢?取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f（x2)，但是这种量化并不准确．因此,x1,x2应具有“任意性”．所以，在区间(－∞,0）上，任取两个x1，x2得到f(x1)＝,f（x2）＝．当x1＜x2时,都有f（x1）＞f（x2)．这时,我们就说f（x）＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．（精品文档请下载）
注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律,转化为数学语言,即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时,对x，y可举出详细数值，进展引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．（精品文档请下载）
2。 在学生讨论归纳函数单调性定义的根底上，老师明晰——-抽象概括
设函数f(x）的定义域为I：
假设对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1＜x2时，都有f(x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8—2（1）］．（精品文档请下载）
假设对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1)＞f(x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2(2）]．（精品文档请下载）
假设函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f(x）的单调区间．（精品文档请下载）
3. 提出问题，组织学生讨论
（1）定义在R上的函数f(x），满足f(2）＞f（1)，能否判断函数f(x）在R是增函数？
(2)定义在R上函数f（x）在区间（－∞，0]上是增函数,在区间(0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．（精品文档请下载）
（3)观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间,和在每一单调区间上,它是增函数还是减函数．（精品文档请下载）
强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．
三、解释应用
[例　题］
1. 证明函数f(x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数．
注：要标准解题格式．
2。 证明函数f（x）＝，在区间（－∞，0）和（0,＋∞）上都是减函数．
考虑：能否说，函数f(x）＝在定义域（－∞,0）∪(0，＋∞）上是减函数?
3。 设函数y＝f(x）在区间D上保号（恒正或恒负)，且f（x)在区间D上为增函数，求证：f（x）＝在区间D上为减函数．（精品文档请下载