§3 逆矩阵
概念的引入
代数运算中,若a0, 则
E的作用与数1相同.
矩阵运算中, 对n阶单位方阵E,有
AE=EA=A.
AB=BA=E.
问题1:对n阶方阵A能否找到矩阵B使得
问题2:如果存在这样的矩阵B,A满足什么条件时才能找到(数量?),利用A如何求B.
那么A称为可逆矩阵, B称为A的逆矩阵.
例设
2. 定义中的 A 和 B 的地位是平等的,所以B 也是可逆矩阵,并且A 是 B 的逆矩阵.
定义
设A是n 阶方阵,若有一个n阶方阵B使得
注意
,并且它的逆矩阵亦为同阶方阵;
由:
所以逆矩阵是唯一的.
根据逆矩阵的唯一性,可记B=A-1 .于是A 是可逆矩阵,则有矩阵A-1 ,满足
. 如果 A 可逆, 又怎样求 A-1 ?
若A是一个n阶可逆矩阵,则它的逆矩阵是唯一的.
证设A有两个逆矩阵B与C,即:
证明
n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|0, 即A为满秩矩阵. 并且当A可逆时,有
其中
Aij为A中元素aij的代数余子式,称为A的伴随矩阵.
必要性
因为A可逆, 因此A–1存在,且
这样|A||A –1|=|E|=1
因此|A|0.
充分性. 当|A|0时
按逆矩阵的定义得
证毕
注意
伴随矩阵各元素位置与原矩阵的不同.
定理不但给出了矩阵可逆的条件,并提供了一种求逆矩阵的方法.
例1 求方阵
的逆矩阵.
解:
因此A可逆.
判断A是否可逆.
例2 设
问a,b,c,d满足何条件时, 矩阵A可逆? 当A可逆时, 求A-1.
解:
若|A|0, 则A可逆, 即ad-bc 0时, A可逆.
当A可逆时,
注意二阶可逆矩阵的逆矩阵的特点.
解
练习
[考研数学]北京航天航空大学线性代数 2-3 来自淘豆网m.daumloan.com转载请标明出处.
