[考研数学]北京航天航空大学线性代数 3-2.ppt

第二节 n维向量的线性相关性
1. n维向量的线性相关与线性无关
2. 线性相关性的判别法
本节主要内容
一 n维向量的线性相关与线性无关
设α1, α2, …, αm, α都是n维向量,若存在一组数k1, k2, …, km使得
定义
则称向量α是α1, α2, …, αm的线性组合, 或称向量α可由α1, α2, …, αm线性表出.
例如
对向量α=(1, 1, 0), β=(2, 1, 1), γ=(1, 0, 1),
β=α+γ, β是α, γ的线性组合.
称ε1, ε2, …, εn为n维向量空间的基本单位向量.
在n维向量空间中,设
则对任何一个n维向量
都有
对任何向量组α1, α2, …, αm都有
而对向量组α1=(1,1,0), α2=(2,1,1), α3=(1,0,1)有
1·α1 – 1·α2+1·α3=0.
则称α1, α2, …, αm 是线性相关的.
设α1, α2, …, αm是m个n维向量,若存在一组不全为零的数k1, k2,…, km,使得
线性相关的向量组的特点:它除了有系数全为零的线性组合是零向量外,还可以有系数不全为零的线性组合也是零向量.
定义
所以由定义知: α1, α2, 0, α3 线性相关.
例1 试证:向量组α1, α2, 0, α3是线性相关的.
因为存在不全为零的数0, 0, 1, 0, 使得
证
说明:包含零向量的向量组一定线性相关.
也就是说:向量组α1, α2, …, αm 当且仅当系数k1, k2,…, km 全为零时,才能使得
一个向量组如果不是线性相关的,就称为线性无关的。
定义
线性无关的向量组的特点:它只有数全为零的线性组合才是零向量,除此之外,它不再有别的线性组合是零向量.
设α1, α2, …, αm 是m个n维向量,如果
定义
例2
试证:n维向量空间的基本单位向量组ε1, ε2, …, εn 是线性无关的.
就必有
则称α1, α2, …, αm 是线性无关的.
此定义常用来证明向量组是线性无关的.
证
如果
有
于是得到
根据定义得ε1, ε2, …, εn 是线性无关的.
即
线性相关与线性无关反映了向量组是否有系数不全为零的线性组合等于零向量.
n维向量α1, α2, …, αm (m≥2)线性相关的充分必要条件是:其中至少有一个向量可由其余向量线性表出.
证
必要性
因α1, α2, …, αm 线性相关,即存在不全为零的数 k1, k2,…, km ,使得

不妨设k1≠0, 则
即α1可由α2, …, αm 线性表出.
充分性
于是
显然, 1, k2,…, km 不全为零,
故α1, α2, …, αm 线性相关.
不妨设α1可由α2, …, αm 线性表出,即