一题多解的启示.doc

一道数学竞赛题的一题多解
一 、引子 ，北京市中学生数学竞赛是在初二和高一两个年级进展。1990年起分为初试和复试,初试以普及为主，复试那么适度进步。命题严密结合中学数学教学实际,活而不一道数学竞赛题的一题多解
一 、引子 ，北京市中学生数学竞赛是在初二和高一两个年级进展。1990年起分为初试和复试,初试以普及为主，复试那么适度进步。命题严密结合中学数学教学实际,活而不难，趣而不怪，巧而不偏,力求表达出科学性、知识性、应用性、启发性、兴趣性的综合统一。数学竞赛活动是备受青少年喜欢的一种数学课外活动。通过有兴趣、有新意、有程度的题目，开发智力,。北京市十几年的数学竞赛积累了一批闪耀着数学思想和智慧的好题目,引导学生研究赏析它，是一件赏心阅目、,笔者尝试通过一道北京市高一年级数学竞赛的初试题的一题多解,和读者共同享受数学智慧的灿烂阳光
二、题目
北京市1992年数学竞赛高中一年级初试“二、填空题”第4题如下：
4、假设 sin2x+cosx+a=0 有实根，试确定实数a的取值范围是什么？
题目短小干炼，总分值8分。
三、试解
方程中的求知数是x,出现了x的两种三角函数Sinx，Cosx。.而Sin2x=1—cos2x，好了，变一变，原方程就化成了
cos2x-cosx-1—a=0 ①
假设原方程中 x有实根，那么cosx就会有对应的实数，令t= cosx，这样方程①就化成了
t2—t-1-a=0 ②
因此，方程②就应该有实数根，因此它的判别式△=(-1）2—4(—1-a)=4a+5≥0,所以 a≥—（5/4)
故实数a的取值范围是a≥-(5/4)
这个答案对吗？
当a≥-(5/4）时，一定有△≥0，方程②一定有实数根，问题是cosx=t有实根x就一定有实数根吗？注意到余弦函数的值域是cosx∈[—1，1］,故②有实根并不能保证cosx=t一定在［-1,1]内，可见上面的解答是不严密的，思维不缜密的同学可能就会在这里出错。这是试题设置的一个隐蔽的陷阱。
四、反思
怎么办呢？
假设能保证方程②的实数解t在区间［—1,1]内,那么最简三角方程cosx=t就必有实数解x=2kπ±arccost， 好,这样一来，问题就转化为当方程②有位于［-1，1]中的实数根时，务实数a的取值范围什么?
由方程②得:
故当a∈［—（5/4),1]∪[—(5/4），—1]=[-(5/4）,1]时,原方程有关于x的实数根.
以上的方法用到了
一元二次方程求根公式，用到理解两个无理不等式组成的不等式组,用到了集合的交集和并集。心里感觉踏实了,但运算较繁杂，有没有更好一些的方法?
五、改进
假设记方程②的左端为f(t),即
f（t)=t2—t-1—a
那么方程②有［-1,1］中的实数解就等价于二次函数f（t）=t2-t—1—a 的图象抛物线在[-1,1］内和t轴有交点。数转化为形，以形助数。好，试试看。
当抛物线和t轴在[-1，1］内只有一个交点时，当且仅当
f（-1）f（1)≤0即
（1—a）(—1-a）≤0, 解之,有 -1≤a≤1； ③