第四章控制系统的根轨迹分析法.ppt

第四章控制系统的根轨迹分析法
第1页，共38页，编辑于2022年，星期二
出射角公式：
第2页，共38页，编辑于2022年，星期二
出射角公式：
第3页，共38页，编辑于
2） n阶系统有n条根轨迹
Kr取某一数值时,n阶特征方程有n个确定的根。
Kr=0→∞每一个根由始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹， n个根形成n条根轨迹。
第13页，共38页，编辑于2022年，星期二
起始于开环极点，终止于开环零点和无穷零点。
2、根轨迹的起点和终点
起点： Kg =0 时
闭环特征方程
S = pi
闭环极点=开环极点
终点： Kg =∞ 时
S = zj
m个闭环极点=开环零点
S = ±∞
(n-m)个闭环极点=无穷零点
第14页，共38页，编辑于2022年，星期二
p3= -2
p2= -1
例 已知系统的开环传递函数，试确定
系统的根轨迹图。
解：
系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数的极点。
开环零、极点：
p1= 0
z1= -1+j z2 = -1-j
s(s+1)(s+2)
Kr(s2+2s+2)
G(s)H(s)=
两条根轨迹终止于开环传递函数的两个零点，另一条趋于无穷远。
σ
jω
1
-1
-1
-2
0
p1
p2
p3
z1
z2
第15页，共38页，编辑于2022年，星期二
3、实轴上的根轨迹
实轴上某区间存在根轨迹，则该区间右边的开环零、极点数之和必为奇数。
Im
Re
第16页，共38页，编辑于2022年，星期二
Im
Re
0
-1
4、分离点与会合点
两条或两条以上的根轨迹在S平面上相遇又立即分开的点。
重根点
在实轴上两个开环极点之间如果是根轨迹，必有分离点；两个开环零点之间是根轨迹，必有会合点。
分离点→求解特征方程
的重根。
R
Y
[例]已知
代入求K
第17页，共38页，编辑于2022年，星期二
例 试确定系统分离点。
s(s+1)(s+2)
Kr
G(s)H(s)=
解：
根轨迹的分离点：
A(s)B'(s)=A'(s)B(s)
(3S2+6S+2)=0
s1=-
s2=-
s2没有位于根轨迹上，舍去。
600
σ
jω
0
p1
p3
p2
-1
-2
第18页，共38页，编辑于2022年，星期二
5、根轨迹的渐近线
与实轴交点：
与实轴交角：
当 n＞m 时，有 m 条根轨迹终止于开环的有限零点，而 n-m 条根轨迹将沿着与实轴交点为 –σa 、交角为 φ 的一组渐进线终止于无穷远处（无穷零点）。
第19页，共38页，编辑于2022年，星期二
Im
Re
0
-1
R
Y
[例]
在实轴上两开环极点之间是根轨迹，所以有分离点。
系统开环为
可得
第20页，共38页，编辑于2022年，星期二
例 已知系统的开环传递函数，试确定
系统的根轨迹图。
解：
s(s+1)(s+2)
Kr
G(s)H(s)=
1）开环零、极点：
2）实轴上的根轨迹段：
p1=0
p2=-2
p3=-3
p1~p2
p3~-
8
3）根轨迹的渐近线：
渐近线与实轴的交点:
渐近线与实轴的夹角 :
n-m= 3
3
σ=
-1-2
=
-1
3
(2k+1)π
+
θ=
+
180O
+
60O
= ,
4）系统的根轨迹
600
σ
jω
0
p1
p3
p2
-1
-2
第21页，共38页，编辑于2022年，星期二
例 试确定系统分离点。
s(s+1)(s+2)
Kr
G(s)H(s)=
解：
前例已求得根轨迹的渐近线和实轴上的根轨迹段
根轨迹的分离点：
A(s)B'(s)=A'(s)B(s)
(3S2+6S+2)=0
s1=-
s2=-
s2没有位于根轨迹上，舍去。
600
σ
jω
0
p1
p3
p2
-1
-2
第22页，共38页，编辑于2022年，星期二
例 已知系统的开环传递函数，试确定
系统的根轨迹图。
解：
，
(s+1)(s+2)
Kr (s+3)
G(s)H(s)=
1）开环零、极点
2