初中数学竞赛题汇编(代数部分2).doc

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初中数学竞赛题汇编
（代数部分2）
江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答
例１：已知a2+b２=6ａb，且a＞b＞0,求 　　 。　
解：由已知得 (a+ｂ)2＝8ab, （a-ｂ）２=4ａb，
所以 ：解方程组
　 　(２）+(3)-(１) 得y＋z－ｘ＝２ax,所以
　 所以 　
　　　同理可得，,
　 所以　 　
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例8:已知ｘ、ｙ、z满足关系式,
证明:
证明：将已知等式分别乘以ｘ、y、ｚ得
①
　 ②
　　③
　①＋②＋③ 得
　　　
　 所以
　 即:
例９:试用关于（x-1）的各次幂表示多项式。
解：设。因为上式是恒等式,所以不论取什么数，两边都应相等，据此可设
,代入上式得　 　……①
,代入上式得　　 ……②
，代入上式得 ……③
联立上面三个式子解得　
∴。
这道例题在求待定系数时运用了特殊值法。要尽量减少待定系数的个数，比如可以断定
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的系数是２,就没有必要再将项的系数设为待定系数了。
例1０：化简　 　 　 　　　　　 　　 　 。
解:设2013为，则2014=,２０１2=，
则 　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　　 　　 　
　　　　　　 　 　 　 　　　 　 ＝－１。 　 　 　
例11: 解方程组
……①
……②
解：（1)原方程组可化为 　　　 　 　 　
令　　 　 　 　（1)　 　 代入方程组,得　 　　 　 　　
解得　 　 和　 　　 　　 代入⑴式中,得 　 　 　　　　和
　 　　　　分别解之,得 　和 　 　　 　 　
显然,这些例题运用了换元法就变的简捷了。
（２）分析：可由 ｘ3＋ｙ3, x+ｙ　求出xy,再由基本对称式,求两个变量x和ｙ。
∵ｘ3＋y3＝(x+ｙ）3-3xy(x＋y）　……③
把①和②代入③,得
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３5＝53-１5ｘy.
∴xy=６.
解方程组
得 或.
例１２:求方程ｘ+y=xy的整数解。
解:  　∵　 x＋y=xy
∴  (x－１)(y-1）=1。
解之,得  ｘ-1＝１,ｙ-１=1;
　 　或       　x-1=-１, y-１=-1。
∴ x=2   　y=２ 或      x=0   y＝0
例1３:已知:ａ+b＋ｃ＝0， 　aｂc≠0.
　 　　求代数式 的值。
　 　 　 　 　
　　　 　　分析：这是含ａ，　b, ｃ 的轮换式,化简第一个分式后,其余的两个分式，可直接写出它的同型式。
解：∵＝=，
∴=---
=-=0．
例１４：己知a＋，ａ≠b≠ｃ 求证:a2ｂ２c2＝1：
证明：由己知a-ｂ= 　 ∴bc=
　 　b-ｃ= 　∴cａ= 同理ab＝
　 　∴ab bｃ cａ==1　 即a2ｂ2c2=１
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例