中考数学总复习第二编中档题型突破专项训篇中档题型训四三角形、四边形中的相关证明及计算试题.doc

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中档题型训练(四)　三角形、四边形中的相关证明及计算
命题规律
纵观近7年怀化市中考题，三角形常及旋转、折叠、平移等知识点结合起来考察；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形与正方形的性质与判定，以及运用其性质解决有关计探究：假设将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2位置，那么(1)中的结论还成立吗？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由．
(3)拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB＝90°，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数．
解：(2)成立．证明：由①易知AD＝AE，∴由旋转性质可知∠DAB＝∠＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴DB＝CE；
(3)如图，将△CPB绕点C旋转90°到△CEA，连接PE，那么△CPB≌△CEA，∴CE＝CP＝2，AE＝BP＝1，∠PCE＝90°，∴∠CEP＝∠CPE＝45°.在Rt△PCE中，PE＝2，在△PEA中
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，PE2＝(2)2＝8，AE2＝12＝1，PA2＝32＝9.∵PE2＋AE2＝AP2，∴△PEA是直角三角形且∠PEA＝90°，∴∠CEA＝135°.又∵△CPB≌△CEA，∴∠BPC＝∠CEA＝135°.
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是点D，AE平分∠BAD，△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
(1)求证：BE＝CF；
(2)在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.
求证：①ME⊥BC；②DE＝DN.
证明：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°.∵FC⊥BC，∴∠BCF＝90°.∴∠ACF＝90°－45°＝45°，∴∠B＝∠ACF.∵∠BAC＝90°，FA⊥AE，∴∠BAE＋∠CAE＝90°，∠CAF＋∠CAE＝90°，∴∠BAE＝∠△ABE与△ACF中，∴△ABE≌△ACF(ASA)．∴BE＝CF；(2)①过点E作EH⊥AB于点H，那么△BEH是等腰直角三角形．∴HE＝BH，∠BEH＝45°.∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE＝HE，∴DE＝BH＝HE.∵BM＝2DE，∴HE＝HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH＝45°，∴∠BEM＝45°＋45°＝90°，∴ME⊥BC；②由题意得∠CAE＝45°＋×45°°，∴∠CEA＝180°－45°°°，∴∠CAE°，∴ACRt△ACM与Rt△ECM中，∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，∴∠ACM＝∠ECM＝×45°°.又∵∠DAE＝×45°°，∴∠DAE＝∠ECM.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝CD＝△ADE与△CDN中，∴△ADE≌△CDN(ASA)，∴DE＝DN.
　四边形的有关计算及证明
【例2】(2021邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如下图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)假设四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是