大学线性代数课件1.4课件.ppt

上页下页结束返回首页§ 行列式按行(列)展开行列式按行(列)展开余子式与代数余子式行列式的计算方法上页下页结束返回首页行列式按行(列)展开余子式与代数余子式: 定义 在n阶行列式 D?|a ij|中去掉元素 a i j 所在的第 i 行和第 j 列后。余下的 n?1 阶行列式,称为 D 中元素 a ij的余子式,记作 M ij。 a 11a 21a 31a 41a 12a 22a 32a 42a 13a 23a 33a 43a 14a 24a 34a 44例如,求 4阶行列式中 a 32的代数余子式: a 11a 21a 41a 13a 23a 43a 14a 24a 44M 32?? A 32?(?1) 3?2M 32 ?? M 32 举例令A ij?(?1) i?jM ij, A ij称为元素 a ij的代数余子式。上页下页结束返回首页行列式按行(列)展开 a 11a 21a 31a 41a 12a 22a 32a 42a 13a 23a 33a 43a 14a 24a 34a 44例如,求 4阶行列式中 a 13的代数余子式: a 21a 31a 41a 22a 32a 42a 24a 34a 44M 13?? A 13?(?1) 1?3M 13?M 13 余子式与代数余子式: 定义 在n阶行列式 D?|a ij|中去掉元素 a i j 所在的第 i 行和第 j 列后。余下的 n?1 阶行列式,称为 D 中元素 a ij的余子式,记作 M ij。令A ij?(?1) i?jM ij, A ij称为元素 a ij的代数余子式。练习上页下页结束返回首页求行列式中元素 a 31和a 32的代数余子式。解: 5 0 3 2 ?2 1 ?3 0 4 练习: A 31?(?1) 3+1 0 3 0 4?0。A 32?(?1) 3+2 5 3 ?3 4?29。按行展开上页下页结束返回首页定理 n 行列式 D?|a ij| 等于它的任意一行(列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积的和,即定理 n 行列式 D?|a ij| 的某一行(列) 的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于零。即行列式按行(列)展开: ?a i1A i1?a i2A i2?????a inA in (i?1, 2, ???, n), 或D D?a 1jA 1j?a 2jA 2j?????a njA nj (j?1, 2, ???, n)。 a i1A j1? a i2A j2????? a inA jn?0 ( i??j), 或a 1iA 1j?a 2iA 2j????? a niA nj?0 ( i??j)。例1 11?2 013 ?231 D ?解: 按第一行展开: 13 31 1?2 31 1?2 13 ?a 11A 11?a 12A 12?a 1nA 1nD?1?(?1) 1?1?0?(?1) 1?2?(?1) 1?3?(?2) ?1?(?8)?0?(?2)?5 ?? 18。例2 上页下页结束返回首页按第二列展开: 1?2 31 1?2 ?21 11 ?23 ?0?1?(?3)?3?(?1)?5 ?? 3?15 ?? 18。 11?2 013 ?231 D ?解: 按第一行展开: ?a 11A 11?a 12A 12?a 1nA 1nD?1?(?8)?0?(?2)?5 ?? 18。?(?1) 3?2?3?(?1) 2?2?1?(?1) 1?2?0 ?a 12A 12?a 22A 22?a 32A 32 D例3 上页下页结束返回首页解: 131 0?12 ?20?5 A 13?(?1) 1?3131 2?12 40?5 A 23?(?1) 2?3111 202 42?5 A 33?(?1) 3?3113 20?1 420 A 43?(?1) 4?3?19, ?? 63, ?18, ?? 10, 所以 D?3?19 ?? 24。?0?(?10) ?(?1)?18 ?1?(?63) 因为直接按第三列展开。方法一, 1 ??2 ??3 4 1 2 0 ?5 3 ?1 ?1 0 1 ??0 1 2 。 D ?方法二上页下页结束返回首页①?③?2④?③?2解: 将某行(列)化为一个非零元后展开。方法二, 1 ??2 ??3 4 1 2 0 ?5 3 ?1 ?1 0 1 ??0 1 2 。 D ??(? 1)( ?1) 3?2