函数点对称线对称及周期总结.docx

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函数对称性、周期性全解析
函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下：
一、 同一函数的周期性、对称性问题
( 即函数自身 )
f
T，使得当 x 取定义域内的每一个
1、 周期性： 对于函
f
(
a
x
)
x
)
2
b
上述关系也可以写成
f
(
2
a
x
)
f
(
x
)
2
b
或
f
(
2
a
f
(
x
)
2
b
简证：设点
(
x
1y
1
)
在
y
f
(x )
上，即
y
1
f
(
x 1
)
，通过
f
(
2 a
)
x
)
f
(
x
)
2 b
可知，
f
(
2 a
x
1
)
f
(
x
1
)
2
b
， 所 以
f
(
2
a
x 1
)
2 b
f
(
x 1
2
b
y 1
， 所 以 点
(
2 a
x 1
,
2 b
y 1
)
也在
y
f
(x
)
上，而点
(
2
a
x
1
,
2 b
y
1
)
与
(
x 1y 1
)
关于
(
a ,
b
)
对
称。得证。
若写成： f ( a x ) f ( b x ) c，函数 y f (x ) 关于点 ( a b
, c ) 对称
2 2
（3）函数 y f ( x ) 关于点 y b 对称 : 假设函数关于 y b 对称，即关于任一个 x 值，
都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于 y b 对
称 。 但 在 曲 线 c(x,y)=0 ， 则 有 可 能 会 出 现 关 于 y b 对 称 ， 比 如 圆
2 2
c ( x , y ) x y 4 0 它会关于 y=0 对称。
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4、 周期性：
A
C
D
（1）函数
y
f
(x
)
满足如下关系系，则
f
(
x
) 的周期为
2 T
、
f
(
x
T
)
f
(
x
)
B 、
f
(
x
T
)
f
1
)
或
f
(
x
T
)
f
1
)
(
x
(
x
、
f
(
x
T
)
1
f
(
x )
或
f
(
x
T
)
1
f
(
x
)
（等式右边加负号亦成立）
4
1
f
(
x
)
4
1
f
(
x
)
、其他情形
（ 2 ） 函 数
y
f
(x
)
满 足
f
(
a
x
)
f
(
a
x
)
且
f
(
b
x
)
f
(
b
x
)
， 则 可 推 出
f
(
x )
f
(
2
a
x
)
f
[
b
(
2
a
x
b
)]
f
[
b
(
2
a
x
b )]
f
[
x
2 (
b
a
)]
即
可以得到
y