抛物线及其标准方程.doc

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第2课时
教学目标　　　　　
知识与技能
1．掌握定义法求解动点轨迹方程的根本步骤．
2．加深理解抛物线的定义，并拓展推广抛物线定义．
3．能够熟练地运用抛物线的方程解决一些问题．
4．能够将到焦点的问题与到：因为抛物线的标准方程只含有一个待定系数，所以只需要一个独立的条件即可求出标准方程，而标准方程有四种形式，所以要根据条件选设方程形式．
解：因为点(3，－4)在第四象限，所以抛物线可能开口向右或向下．
故设方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
将点(3，－4)代入得方程为：y2＝x或x2＝－y.
(2)分析：因为焦点在直线上，而且是标准方程，所以焦点也应该在坐标轴上，
而直线与坐标轴有两个交点，这两个焦点都可能是焦点．
解：由题意知直线与坐标轴交于(－2,0)和(0,2)．
假设抛物线以(－2,0)为焦点，那么方程为y2＝－8x.
抛物线以(0,2)为焦点，那么方程为x2＝8y.
点评：(1)掌握运用待定系数法求抛物线的标准方程，解题时强调方程形式的选择；(2)进一步熟悉抛物线的焦点位置与标准方程之间的关系；(3)培养学生运用知识解决问题的能力．
(二)定义的拓展
2抛物线y2＝4x上一点到焦点的距离为3，那么这个点的坐标是____________．
(变式一)抛物线y2＝4x上一点的横坐标是4，那么这个点到焦点的距离为____________．
(变式二)抛物线y2＝2px上有一点A(4，m)到准线的距离为6，那么m＝____________.
(变式三)抛物线上一点A(－5，m)到焦点F(n,0)的距离为6，那么抛物线的标准方程为____________________．
(变式四)点A(0，－1)，点P是抛物线y2＝4x上一动点，那么点P到定点A的距离与点P到抛物线的准线的距离和的最小值为__________________．
设计意图：由定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，后者可以用这个点的横坐标或纵坐标单独地表示出来，所以应该围绕这个特点来解决问题．
解：由题意可知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，因为这个点到焦点的距离为3，所以它到准线的距离也是3，从而它的横坐标为2，将它代入方程得坐标为(2，±2)．
(变式一)答案：5
(变式二) m＝±4
(变式三)由焦点F(n,0)得：焦点在x轴上，所以准线方程为x＝－n.
抛物线上一点A(－5，m)到焦点F(n,0)的距离为6，所以它到准线的距离也等于6，而且点A(－5，m)在y轴的左侧，故开口向左，设方程为y2＝4nx，那么－n－(－5)＝6，∴n＝－：y
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2＝－4x.
(变式四)解：如图点P到点A的距离与点P到抛物线焦点距离之和为 PA＋PF，故最小值在A、H、F三点共线时取得，此时PA＋PF＝(0，－1)，F(1,0)，所以，AF＝＝.
点评：解决变式四需注意先判断定点的位置，再进行转化．
(三)数学应用
3抛物线形古城门底部宽12 m，高6 m，建立适当的坐标系，求出它的标准方程．
解：如图建立直角坐标系，设方程为x2＝－2py，那么A(6，－6)
在抛物线上，即：62＝－2px(－6)
∴2