离散数学59.ppt

1主要内容代数系统的基本概念 1半群与含幺半群(独异点) 2群(阿贝尔群与循环群) 3子群与陪集 4同态与同构 5环与域 6 2 1. 环定义 1:设<R,+ , ?>是含两个二元运算的代数系统,若: (1) <R,+ >是交换群; (2) <R, ?>是半群; (3) 运算?对+是可分配的; 则称<R,+ , ?>是环。通常把第一个运算+称为“加法”; 第二个运算?称为“乘法”。 3 例1:以下代数系统都是环: < I,+, ?>,其中 I:整数集, +、?是加法和乘法<Q,+, ?>,其中 Q:有理数集, +、?是加法和乘法<R,+, ?>,其中 R:实数集, +、?是加法和乘法<C,+, ?>,其中 C:复数集, +、?是加法和乘法<R(x),+, ?>,其中 R(x): 系数是实数的多项式集合, +、?是多项式加法和乘法<M n ,+, ?>,其中 M n是 I 上n×n方阵, +、?是矩阵加法和矩阵乘法 4 2. 环的性质<R,+, ?>是环,则对? a,b,c ?R,有: (1) a ? 0 = 0 ? a = 0 (环中的加法幺元是乘法零元) (2) a ? (- b) = (- a) ? b = - (a ?b) (3) (- a) ?(- b) = a ?b (4) a ? (b - c) = a ? b - a ?c (5) (b - c) ? a = b ? a - c ?a其中: 0 是加法幺元, - a 是 a 的加法逆元, a -1 是 a 的乘法逆元, a + (- b) 记为 a – b 证明: (1) 0 ? a = 0 +0 ?a0 ? a = (0 + 0) ? a = 0 ? a + 0 ?a 由消去律,得 0 = 0 ? a ,同理可得 a ? 0 = 0 5 (2) a ? (- b) = (- a) ? b = - (a ?b) a ? (- b) + a ? b = a ? (- b + b) = a ? 0 = 0 同理 a ? b + a ? (- b) = 0 ∴ - (a ? b) = a ? (- b) 同理- (a ? b) =(- a) ?b (3) (- a) ?(- b) = a ?b由(2) (- a) ?(- b) = -(a ?(- b) ) = -(- (a ? b)) = a ?b (4) a ? (b - c) = a ? b - a ?c a ? (b - c) = a ? (b +(- c)) = a ? b + a ?(- c) = a ? b - a ?c (5) (b - c) ? a = b ? a - c ?a同(4) 6 3. 特殊环定义 2: <R,+, ?>是环: (1) 若<R, ?>是交换半群,则称<R,+ , ?>是交换环; (2) 若<R, ?>是含幺半群,则<R,+ , ?>是含幺环; (4) 若R中存在两个非零元素 a和b,使 a? b=0 ,则称 a和b 为零因子,而称<R,+ , ?>是含零因子环; 否则称<R,+ , ?>是无零因子环。例如:对于集合 S, <P(S), ?,?>称作 S的子集环<P(S), ?>含幺元,可交换又如: <I,+, ?>是无零因子环。 7 例2:代数系统<N k,+ k,× k>是环,其中 N k ={0,1, …,k-1} , + k和× k是模 k加法和乘法运算,是否含零因子环。解: k=5 时, N 5 ={0,1,2,3,4} , ? a,b ≠0,a× 5 b = (a ? b) mod 5 ∵ a ? b ≠5m ,∴a× 5b≠0∴<N 5,+ 5,× 5>是无零因子环 k=6 时, N 6 ={0,1,2,3,4,5} , ∵2?N 6,3?N 6,2 × 5 3 = (2 ? 3) mod 6 = 0 而2 ≠0,3 ≠0∴<N 5,+ 5,× 5>是含零因子环,其中 2和3是零因子∴<N k,+ k,× k>要根据 k的具体值来确定是否是含零因子环 8 定义 3: <R,+, ?>是代数系统,若满足(1) < R,+> 是阿贝尔群(交换群) (2) < R, ?>是可交换独异点,且无零因子(3) 运算?对运算+是可分配的则称< R,+, ?>为整环。(即:可交换的含幺元的无零因子环是整环) 下图说明了几种环之间的继承关系: 无零因子环交换环含幺环整环环9 定理 1:设<R,+, ?>是环,则<R,+, ?>是无零因子环的充要条件为其中消去律成立。证明: (1) 若无零因子则有消去律若无零因子