第四章 根轨迹分析法.ppt

第四章 根轨迹分析法
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注意：
K一变，一组根变；
K一停，一组根停；
一组根对应同一个K；
根轨迹概念
-2
-1
0
j
k
s(+1)
K:0 ~ ∞1+ ∠θ2=180 o s= -+ ∠θ1+ ∠θ2=180 o s= -- ∠θ1+ ∠θ2=180 o找出足够多的点，连接而成根轨迹
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2、 幅值条件不同特征根s，就对应了不同的K值。
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4-2 绘制根轨迹的基本法则1 根轨迹的起点和终点由幅值条件：K=0时,s=- pi，即根轨迹始于开环极点；K=∞时,s=- zj，即根轨迹终于开环零点。极点多于零点时，只有s →∞才有K=∞，则此时根轨迹将趋于无穷远。
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2 根轨迹的支数根轨迹支数=闭环极点数=开环极点数3 根轨迹的对称性由于特征方程的根1+G(s)H(s)=0只有实根和共轭复根两种，故根轨迹必在实轴上或是对称于实轴。
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4 实轴上的根轨迹在实轴的根轨迹上任取一点s1，则其与开环零极点间构成的矢量有三种可能：(1) 开环零极点为共轭复数,如
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(2)开环零极点在左边实轴上如-p2和–z2也有θ2=0 φ2=0所以φ2 + θ2 =0(3)开环零极点在右边实轴上如-p1和–z1则φ1 + θ1= 1800根据相角条件，前两种情况矢量角为零，不需考虑。只要考虑开环零极点在右边实轴上的情况。设s1右边有a个极点和b个零点，由相角条件可知：b 1800 – a 1800 =±(2k+1) 1800 (k=1,2,….) b – a =±(2k+1) 即结论为：实轴上的点，若其右边实轴上有奇数个开环零极点，则它必在根轨迹上。
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六、根轨迹的渐近线 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角为θ，截距为-σ的一组渐近线趋向无穷远处。其中  θ= 式中，k=0，1，2，…一直取够n-m 个夹角为止。 渐近线与实轴交点的坐标以-σa表示，则  -σa =
±180°（2k+1）
n—m
n—m
Σ （-pj）—Σ（-zi）
J=12
i=1
n
m
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例 已知系统的开环传递函数为
GK（s）=
试在s平面上确定根轨迹渐近线的方位。
解： 系统有4个开环极点和1个开环零点： -p1=0，-p2=-1+j1，-p3=-1-j1，-p4=-4；-z1=-1。可知有3条根轨迹趋于无穷远处，其渐近线的方位是：
截距：
-σa=
Kg（s+1）
s（s+4）（s2+2s+2）
（0）+（-1+j）+（-1-j）+（-4）-（-1）
4-1
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=-
夹角： θ=
当k=0，1，2时，
θ=60°，180°，300°。
3条渐近线如图
的虚线所示。
5
3
180°（2k+1）
3
jw
s平面
0
-1
-2
2
1
-3
-2
-1
-4
5
3
-
χ
χ
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七、根轨迹的分离点和回合点
两条根轨迹分支在s平面上的某点相遇，然后又立即分开的点，叫做根轨迹的分离点（或会合点）。
图所示为两条根轨迹
分支。它们分别从开环极
点-p1与-p2出发，随着Kg的
增大，会合于a点，接着从
a点分离，进入复平面，然
后又从复平面回到实轴，
相遇于b点，再从b点分离。
0
σ
jw
χ
χ
a
-p2
-p1
-z1
b
图 根轨迹的会合与分离
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最后，一条分支终止于开环有限零点-z1，另一条趋向负无穷。我们把a点称作分离点， b点称作会合点。  一般地，若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；若实轴上相邻开环零点（其中一个可能是无穷远零点）之间存在根轨迹，则这两相邻零点之间必有会合点。若实轴上根轨迹处在开环零点与极点之间，则它们中间可能既无分离点也无会合点，亦可能既有分离点也有会合点。
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