20、极限计算方法总结.pdf

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(x) f (x)
g(x) ～ g (x) ，则当 lim 1 存在时， lim 也存在且等于 f (x) lim 1 ，
1 xx xx xx
0 g1 (x) 0 g(x) 0 g1 (x)
f (x) f1 (x)
即 lim = lim 。
xx xx
0 g(x) 0 g1 (x)
5．洛比达法则
定理 5 假设当自变量 x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数 f (x) 和 g(x) 满足：
（1） f (x) 和 g(x) 的极限都是 0 或都是无穷大；
（2） f (x) 和 g(x) 都可导，且 g(x) 的导数不为 0；
f (x)
（3） lim 存在（或是无穷大）；
g(x)
f (x) f (x) f (x) f (x)
则极限 lim 也一定存在，且等于 lim ，即 lim = lim 。
g(x) g(x) g(x) g(x)
说明：定理 5 称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不
满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限
0 
是否为“ ”型或“ ”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕
0 
后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注
意条件。
6．连续性
定理 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果 是函数 的定义去间
6 x0 f (x)
内的一点，则有 lim f (x)  f (x0 ) 。
xx0
7．极限存在准则
定理 7（准则 1） 单调有界数列必有极限。
定理 8（准则 2） 已知{xn } , {yn } , {zn }为三个数列，且满足：
（1） yn  xn  zn , (n 1,2,3, )
（2） lim yn  a ， lim zn  a
n n
则极限 lim xn 一定存在，且极限值也是 a ，即 lim xn  a 。
n n
8. 泰勒公式（带皮亚诺余项）
1 1
ex 1 x  x 2 ... xn  o(xn )
2 n!
n
1 1