导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则.doc

§4　导数(dǎo shù)的四那么运算法那么
　导数的加法与减法法那么
　导数的乘法与除法法那么
.(重点)
.(重点、难点)
[根底·初探]
教材必然只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点.
[再练一题]
＝在点(1，1)处的切线方程.
【解】　y′＝＝，
∴当x＝1时，y′＝＝0，
即曲线在点(1，1)处的切线斜率k＝0.
是以，曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为y＝1.
[谈判共研型]
导数运算法那么的综合应用
谈判1　二次函数y＝f(x)的图像过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图像是过第一、二、三象限的一条直线，那么函数y＝f(x)的图像的极点在第几象限？
【提醒(tí xǐng)】　设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
∴f′(x)＝2ax＋b，∵y＝f′(x)＝2ax＋b的图像是一条过第一、二、三象限的直线，∴即a>0，b>0，
∴－<0，<0，∴f(x)的图像的极点在第三象限.
谈判2　假设函数f(x)＝ax4＋bx2＋c知足f′(1)＝2，试求f′(－1)的值.
【提醒】　由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1，f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.
　函数f(x)＝的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求函数y＝f(x)的解析式.
【超卓点拨】　独霸点M为切点是切线与曲线的公共点，以及切线的斜率为f′(－1)＝－联立方程组，可求出a，b的值.
【自立解答】　由函数f(x)的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，由切点为M点得f′(－1)＝－.
∵f′(x)＝，
∴
即
解得a＝2，b＝3或a＝－6，b＝－1(由b＋1≠0，故b＝－1舍去).
所以(suǒyǐ)所求的函数解析式为f(x)＝.
解决与切线有关的问题时，，
因为切点的横坐标与导数有着直接的联络.
[再练一题]
­4­1中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图像，那么f(－1)＝(　　)
图2­4­1
A.　 B.－
C. D.－或
【解析】　f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，由题图①与②知，它们的对称轴都为y轴，此时a＝0，与题设不适宜，故题图③是f(x)③知f′(0)＝0，a<0，所以a＝－1，此时f(x)＝x3－x2＋1，所以f(－1)＝－.
【谜底】　B
[构建·系统]
(x)＝(x2＋1)x3的导数为(　　)
′(x)＝5x4＋3x2 ′(x)＝6x5＋3x2
′(x)＝5x3＋3x2 ′(x)＝6x5＋x3
【解析】　f(x)＝x5＋x3，f′(x)＝5x4＋3x2.
【谜底】　A
＝x2cos 2x的导数为(　　)
′＝2xcos 2x－x2sin 2x
′＝2xcos 2x－2x2sin 2x