函数的奇偶性和周期性学案.doc

函数的奇偶性和周期性、对称性 学案
基本知识体系：
奇函数、偶函数：¦(x)为奇函数⇔ ；¦(x)为偶函数⇔ （定义法）
函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函函数的奇偶性和周期性、对称性 学案
基本知识体系：
奇函数、偶函数：¦(x)为奇函数⇔ ；¦(x)为偶函数⇔ （定义法）
函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式
,（2）：①若,则既是 又是 ,若,则是 ；②若是奇函数且在处有定义，则
图象性质：奇函数的图象关于原点成中心对称；（注意：若¦(0)存在，则必有¦(0)=0Þ处理填空或选择题的法宝）；偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。（图象法）
周期函数和函数的最小正周期：在定义域内，若存在有一个非零常数T，恒满足 ，则称T为其一个周期。若在所有的周期中，存在一个最小的正数，则称之为最小正周期。
常见结论：①若函数¦(x)是奇函数，且¦(x)还存在有原点以外的其它对称点Þ则¦(x)必为周期函数；
②若函数¦(x)是偶函数，且¦(x)还存在有y轴以外的其它对称直线Þ则¦(x)必为周期函数；
③若函数¦(a+x)是奇函数 Þ则¦(a+x)= -¦(a-x)；且¦(x)的图象关于点（a,0)中心对称；
④若函数¦(a+x)是偶函数 Þ则¦(a+x)= ¦(a-x),且¦(x)的图象关于直线x=a对称；
函数的周期性与对称性的综合：
若¦（x+a）=¦（x+b）或¦（x+T）=¦（x），则¦（x）具有周期性；若¦（a+x）=¦（b-x），则¦（x）具有对称性；“内同表示周期性，内反表示对称性”；
②、周期性：1）¦（x+a）=-¦（x）；2）¦（x+a）=；3）¦（x+a）= Þ 则¦（x）的周期分别为2a,2a,4a;
③、1）、¦（x+a）=¦（a-x）；2）¦（x+a）=¦（b-x）Þ则¦（x）对称轴分别为 和 ；
④ 若有¦（x+a）=-¦（b-x）,Þ则函数¦（x）的图象关于点（,0)中心对称，特别地，若¦（x+a）=-¦（a-x），Þ则函数¦（x）的图象关于点（a,0）中心对称；
⑤奇偶函数图象的对称性
若是偶函数，则的图象关于直线对称；
若是偶函数，则
的图象关于点中心对称；
考点题型探析
考点1 判断函数的奇偶性及其应用
题型1：判断有解析式的函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；
（3）；（4）
题型2：证明抽象函数的奇偶性
[例2] （2010年山东梁山）定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，
都有. 求证f (x)为奇函数；
[新题导练]
1．（2010广东电白一中）设函数为奇函数，则___________。