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第十章
证明
1、证明概述
证明是由一个或几个已知真实判断进而推断另一个判断的真实性的逻辑方法。
数学证明是运用假设、公理、定义和定理作为推理的依据,并用推理的方法,推断某一数学命题的真实性的思维形式。
第一节证明
【例】求证:三角形的内角和为180o。
【证明】作三角形⊿ABC,
延长AC,作CD∥AB
并命名∠1,∠2,∠3
由CD∥AB可得∠B=∠2(两线平行,内错角等)
∠A=∠3(两线平行,同位角等)
因为∠1+∠2+∠3=180o(平角定义)
所以∠1+∠B+∠A=180o(等量代换)
即知,三角形的内角和为180o。证毕。
证明由三个部分组成:论题、论据、论证。
⑴论题:就是真实性需要加以确定的那个判断。
⑵论据:就是为了确定论题的真实性而引用的那些判断。
⑶论证:就是引用论据证明论题的推理过程。
经证明是正确的命题可作为定理。
证明与推理有密切联系
⑴它们都以判断为其组成要素的思维形式。
⑵一个命题的证明往往包含一个或一连串的推理。
⑶它们的组成部分有相关性。
论题相当于推理的结论,
论据相当于推理的前提,
论证相当于推理方式。
证明与推理有所区别
⑴证明与推理的任务不同:
推理的任务是由已知判断推出一个新判断;
证明的任务是已知为真的判断去确定某一判断的真实性。
⑵证明与推理的进程不同:
推理的进程是由前提出发得出结论;
证明则是由论题出发,进而找出证明该命题的论据,然后论证论题的真实性。
⑶证明与推理对各自组成部分之间的逻辑联系的要求不同:
推理对前提与结论之间的联系没有特殊要求,可以是必然的,也可以是或然的;
证明则不然,论证具有必然联系。
⑷证明与推理的结构不同:
证明必然包含推理,而且往往是多种推理的复杂组合;
推理不必然包含证明。
2、证明分类
根据证明论题的方式不同,证明可分为直接证法和间接证法。
⑴直接证法:
从命题所给的条件出发,根据已有的定义、公理、定理等,通过一系列的推理,一直推到所要证的结论为止。
直接证法包含分析法、综合法、演绎法、完全归纳法等。
⑵间接证法:
不直接证明原命题,而是去证明原命题的等价命题,达到间接地证明原命题的目的。
间接证法包含反证法、同一法等。
数学命题的证明多采用直接证法,当命题用直接证法证明有困难时,往往采用间接证法。
3、证明规则
任何一个正确的证明,除了恰当地运用证明方法外,还必须遵守下列规则:
⑴论题规则:论题要明确,并保持同一。
论题是证明的目的,必须清楚、明白、确切。如果含混不清,就无法进行证明。论题必须保持前后一致,不能随意改变。
【例】连结四边形各边中点所组成的图形是平行四边形。
这里没有指出如何连结,有可能得到的并非四边形。
【例】两个相似三角形的高的比等于相似比。
这里没有指出是什么高的比。
两例论题都不清楚,属于“论题不明”错误,无法进行证明。
【例】因为5÷2=,说明2能除尽5,所以2能整除5。
这里以“除尽”代替不同概念的“整除”,犯了“偷换论题”错误。
【例】因为矩形的四个角都是90o,所以四个角的和为360o,从而四边形的内角和为360o。
这里以特殊的“矩形”代替一般的“四边形”,犯了“偷换论题”错误。