多元线性回归拟合分析.doc

楚雄师范学院
2012年数学建模竞赛
第一次实战训练（一）第一题论文
题 目
姓 名 郜红霞杨环刘发稳
2012年8月20日
多元非线性回归拟合模型
摘要：本文推论了多元非线性数据拟合的通用数学模型 ，利用最小二乘法证。
3基本假设与符号说明
符号
说明
1
托
多元线性回归的输入变量
y；
多元线性回归的输出变量
Xi
多元非线性回归的输入变量
yi
多元线性回归的输出变量
P
回归系数
畀
回归系数估计值
?
输出变量估计值
Q
残差平方和
E
拟合误差
Z
无偏估计值
2
s
方差
R
复相关系数
SE
标准误差
4 模型建立


我们先假设输入变量和输出变量之间的关系是线性函数关系， 建立多元
线性回归模型。
丫二 d「X；…Mm
｛〜N(0, 2)
为了在研究两个指定变量之间的相关关系的同时，控制可能对其产生影
响的其他变量，我们在研究任意两个输入变量的相互作用的判断中， 运用了偏相
关分析先对任意两个输入变量之间是否有交互作用进行判断。
设随机变量X、丫、Z之间彼此存在着相关关系，为了研究 X和丫之间的关系,
_ 2 - 2
-...(p4)"：：：门-...(i/)(i 1)...( p 4)
就必须在假定Z不变的条件下，计算和丫的偏相关系数，
在考察多个变量时，
的递推式定义：
Xi ( i =1，2...，p)之间的p-1阶偏相关关系可由如下
…(i 4)(i 1)...p
...(i -4)( i 1)...(p 4)...(pM)...(i 4)(i 1)...(p4)
计算得出输出变量的相关性检验。
我们建立部分多元非线性回归模型，来判断在 丫与Xi的模型中有交互
作用的Xi的形式。
b12x x2 b13x2x3 b23x2x3 ；
y = b0 bi X| b2X3 ■ 01咅■ b22 X2 ' b33 X3
其中，；~ N (0—)
在判断出的形式的形式后，我们建立所有 Xi与丫的多元非线性回归模型。
m m
⑷ y「o7j x；亠 i ■■jkXjXk
j i j4 1勺#念
将数据录入后，，从而得出之间的函数关系。 然后再进行参数估计，统计分析，假设检验，回归系数检验，相关系数检验，如 果通过检验，则得到较优模型，若未通过检验，则进行进一步调整优化。
参数估计
在得出函数关系后，我们要对其进行参数估计。
假设有n个独立观测的数据&1必2,…，Xm，yi),i = 1,2,...,n,要确定回归系数
由最小二乘法，即
n 2
minQ（ °,仆...，市）=' [% -（ o ：1心... *心）]
i仝
求出估计值
? =（xtx）」xty
■1
X =..
L1
X11
xn1
Xnm
_yj
丫 =...
y 一
）?=...
（?
丫的估计值为:
?=匱0 + 畀X1 +•••+ f?mXm
拟合误差e = y - ？称为残差平方和
统计分析
首先，求残差平方和Q,并由此得匚2的无偏估计。
〜2(n _ m—1);二
n - m -1
然后，对丫的样本方差S2进行分解。
s2 =Q u,u 八(？ -y)
假设检验
Ho:二 “ =...=f = 0
构造F-统计量及检验H o的拒绝域:
U
一m ~ F (m, n - m -1)
「m「1)
拒绝域 ° =F1 .;.(m, n- m-1)』
回归系数的检验
判断每个自变量Xi对y的影响是否显著。
■cii
〜t(n -m -1)
Q
其中，H。： [ =0,已：「0, ?〜N(L,w「2),i =1,...,m
相关系数检验
R2」
s2
，它们
复相关系数R是衡量y与xi,x2,...,xm相关程度的指标，R的值越接近于1 的相关程度越密切。
5问题求解
，粗略分析出强影响点有 3,12,34
600
34
r
400
Y X1 X2 X3 X4 X5 X6
然后再用马氏距离和cook精确的计算强影响点。
hi 二(人 - X)“ 「'(Xi - x)
i =1
马氏距离公式:
n -1
n
迟(? -?i(i))
Cook 公式：q = H 2 <? (p +1)
用sp