定积分.ppt

分部积分法前面我们在复合函数微分法的基础上,得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法——分部积分法,它是两个函数乘积的微分法则的逆转。问题???dx xe x解决思路利用两个函数乘积的求导法则. 设函数)(xuu?和)(xvv?具有连续导数,??,vuvu uv ???????,vu uv vu ?????,dx vu uv dx vu??????.du v uv udv????分部积分公式一、基本内容注分部积分公式的特点:等式两边 u , v 互换位置分部积分公式的作用:当左边的积分? udv 不易求得,而右边的积分? vdu 容易求得利用分部积分公式——化难为易例1求积分. cos? xdx x 解(一) 令, cos xu?dv dx xdx ?? 22 1? xdx x cos???xdx xx x sin 2 cos 2 22显然, 选择不当, ?, 解(二) 令,xu?dvxdxdx ?? sin cos ? xdx x cos??xxd sin???xdx xx sin sin . cos sin Cxxx???分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择 u , v 一般来说, u , v 选取的原则是: (1)积分容易者选为 v (2)求导简单者选为 u 分部积分法的实质是:将所求积分化为两个积分之差,积分容易者先积分。实际上是两次积分。例2求积分. 2? dx ex x解, 2xu?,dv de dx e xx??? dx ex x2???dx xe ex xx2 2.)(2 2Cexe ex xxx????(再次使用分部积分法) ,xu?dv dx e x?总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)u 例3求积分. arctan ? xdx x 解令, arctan xu?dv xdxdx ??2 2? xdx x arctan ) (arctan 2 arctan 2 22xd xx x???dx x xx x 2 221 12 arctan 2????? dx x x x)1 11(2 1 arctan 2 2 2??????.) arctan (2 1 arctan 2 2Cxxx x????若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就考虑设对数函数或反三角函数为 .这样使用一次分部积分公式就可使被积函数降次、简化、代数化、有理化。目的、宗旨只有一个:容易积分。 u 例4求积分. ln 3? xdx x 解, lnxu?,4 43dv xddx x??? xdx x ln 3???dx xxx 344 1 ln4 1 ln4 1 44Cxxx???总结例5求积分.) sin(ln ? dx x 解? dx x) sin(ln ???)] [sin(ln ) sin(ln xxd xx????dx x xxxx 1) cos(ln ) sin(ln ????)] [cos(ln ) cos(ln ) sin(ln xxd xxxx????dx xxxx) sin(ln )] cos(ln ) [sin(ln ??dx x) sin(ln . )] cos(ln ) [sin(ln 2 Cxx x???注:本题也可令 xt ln?分部积分过程中出现循环,实质上是得到待求积分的代数方程,移项即可求得所求积分。注意最后一定要加上积分常数 C 例6求积分. sin? xdx e x解? xdx e x sin?? xxde sin???) (sin sin xdexe xx???xdx exe xx cos sin??? xxxde xe cos sin????) cos cos ( sinxdexexe xxx????xdx exxe xx sin ) cos (sin ??xdx e x sin.) cos (sin 2 Cxx e x???注意循环形式例7dx x? 3 sec 解dx x? 3 sec??xxd tan sec dx xxxx??? sec tan tan sec 2?????xdx xdx xx 3 sec sec tan sec?????xdx xxxx 3 sec ) tan ln(sec tan xxxxxdx ??????) tan ln(sec 2 1 tan sec 2 1 sec 3例8)( sin Nnxdx n??