圆的证明与计算.docx

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〈〈圆的证明与计算>专题讲解
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的 发挥有重要的影响,所以解决好此题比拟关键.
圆的有关证明
3= / G,
. . AD // BC ,
Z G= Z 4.
. • AD=CD , DE=DE ,
Z ADE= Z CDE=45 0,
.-.A ADE CDE (SAS) .. Z 4= Z 1, Z 1 = Z 3.
. Z 2+ Z 3=900,
•••Z 1 + Z 2=900. 即 CE ± OC.
••• CE与^ CFG的外接圆相切
方法二：假设直线l与OO没有的公共点,又要证明l是OO的切线,只需作OA ± l,
（一般用于函数与几何
A为了垂足,证明 OA是③O的半径就行了,简称："作垂直；证半径" 综合题）
例1 :如图,AB=AC , D为了BC中点,O D与AB切于E点.
求证：AC与OD相切.
分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DE的,证明二
是利用角平分线的性质证明 DF=DE的,这类分线有
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例2 : ：如图,AC , BD与③O切于A、B,且AC // BD,假设Z COD=900.
求证：CD是OO的切线.
证明一：连结OA , OB,作OELCD , E为了垂足.
AC, BD 相切,
AC ± OA , BD ± OB.
. • AC // BD ,
•.•Z 1+ Z 2+ Z 3+ / 4=1800.
. Z COD=90°,
•.•Z 2+ / 3=90°, / 1 + / 4=900.
. Z 4+ Z 5=900.
•••Z 1 = Z 5.
••• RtA AOC s Rt△ BDO.
AC OC —— ——.
OB OD
. . OA=OB ,
AC OC —— ——.
OA OD
又.•』CAO= Z COD=900,
. AOCs^ ODC,
•••Z 1 = / 2.
又••• OA ± AC , OE ±CD,
••• OE=OA.
.
••• CD是③O的切线.
证明二：连结OA, OB,作OELCD于E,延长 DO交CA延长线于F.
AC , BD 相切,
AC ± OA , BD ± OB.
. • AC // BD ,
•••Z F= / BDO.
又.• OA=OB ,
. AOF^A BOD (AAS)
. .OF=OD.
. Z COD=900,
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. .CF=CD,匕 1 = / 2.
又.. OA ± AC , OE ± CD,
. .OE=OA.
.
•••.
证明三：连结AO并延长,作 OEL CD于E,取CD中点F,连结OF.
,
AC ± AO. A C
AC // BD , / I Z\\
AO ± BD. / I /
BD与③O相切于B, .氏了 \
AO的延长线必经过点 B. \ \
••• AB 是O O 的直径,
— 八八 - B D
. • AC // BD , OA=OB , CF=DF ,
. .OF// AC ,
•••Z 1 = / COF.
. Z COD=90°, CF=DF,
OF 1CD CF .
2
•••Z 2= / COF.
•••Z 1 = / 2.
. OA ± AC , OE±CD,
. .OE=OA.
.
•••
说明：证明一是利用相似三角形证明Z 1 = Z 2,证明二是利用等腰三角形三线合一证明
71= / 1 = / 2,这种方法必需先证明 A、O、B三点共线.
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(1)
的切线；
(2)
点,连结
课后练习: 如图,AB是OO的直径,BC±AB, AD // OC交③O于D点,求证：
如图,以RtA ABC的直角边 AB为了直径作O O ,交斜边AC于D,点E为了BC的中 DE,求证：DE是③O的切线.
(3)如图,以等腰△ ABC的一腰为了直径作O O,交底边BC于D,交另一腰于F,假设DE XAC于E (或E为了CF中点),求证：DE是③O的切线.
(4)如图,AB是③O的直径,AE平分Z