复变函数3.ppt

2017-2-18 第一章复变函数 3 1第一章复变函数§ 复数与复数运算§ 复变函数§ 导数§ 解析函数§ 平面标量场 2017-2-18 第一章复变函数 3 2 1、定义§ 解析函数若函数 f(z)在在z 0点及其邻域内处处可导,则称 f(z)在z 0点解析; 又若 f(z)在区域 B上的每一点解析,则称 f(z)在区域 B上是解析函数。(2) 若f(z)在z 0点的不解析,则称该点为 f(z)的奇点。(1) 解析与可导的关系: ?函数 f(z)在某点解析,则必在该点可导,反之不然。?函数在区域 B内的解析与在B内处处可导完全等价。(提示:点 z 0上可导,并不意味在 z 0的邻域内处处可导,因此函数在该点不一定解析。) 2017-2-18 第一章复变函数 3 3 性质 1:设函数 f(z)=u(x,y )+ iv(x,y)在区域 B上解析,则 u=C 1, v=C 2 (其中 C 1, C 2为常数)是 B上的两组正交曲线族。 2、主要性质证明: f(z)在区域内解析,必满足柯西-黎曼条件上式两边自乘,得到, . u v v u x y x y ? ???? ??? ???.0,0??????????????vuy vy ux vx u即其中?g ( g=u, v )为曲线 g= Const. 的法向矢量,所以?u·?v =0 表示相互正交的曲线族。 2017-2-18 第一章复变函数 3 4 红: 实部兰: 虚部 zezf?)( 2)(zzf?性质 2:若函数 f(z)=u(x,y )+ iv(x,y)是区域 B上的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y)均为该区域内的调和函数。证明: 由柯西-黎曼条件: , . u v v u x y x y ? ???? ??? ??? 2017-2-18 第一章复变函数 3 5 ????????????????????. , 2 22 22 2y uyx v xy vx u前一式对 x求导,后一式对 y求导,得 2 2 2 2 2 0, 0. u u u x y ? ?? ???? ?或 2 2 2 2 2 0, 0. v v v x y ? ?? ? ??? ?或者方程(A) 和(B) 称为二维拉普拉斯方程,满足 Laplace 方程的二元实函数 u和v称为调和函数。一个解析函数的实部和虚部又叫做共轭调和函数。其中称为拉普拉斯算符。同理可得 2 2 2 2 2 x y ? ????? ?(A) (B) 2017-2-18 第一章复变函数 3 6 说明: ?解析函数的实部和虚部不独立,通过 C-R 条件联系着。?若给定一个二元调和函数,假定它是某个解析函数的实部(或虚部),利用 C-R 条件可求出相应的虚部(或实部),并确定此解析函数(仅差一个常数因子)。?调和函数: 若二元实函数 H(x,y)在区域 B上具有连续的二阶偏导数,且满足拉普拉斯方程? 2H=0,则称 H(x,y )是区域 B 上的调和函数。 2017-2-18 第一章复变函数 3 7 3、给定实部或虚部,求解析函数已知二元调和函数 u(x,y )是解析函数 f(z)的实部,求相应的虚部 v(x,y )。首先虚部的全微分为. v v u u dv dx dy dx dy x y y x ? ???? ????? ???; 22???????????????????????????????y vxyx vxy vx vy容易验证上式是全微分,因为 C-R 条件性质 2 . 2 22 2???????????????????????????????x uxx uy uy uy 2017-2-18 第一章复变函数 3 8 因此可以求出解析函数的虚部.),(??????????????????dyx udxy udv yxv(1)曲线积分法: 选取特定积分路径,将上式积出。(2)凑全微分显式法: 将积分号里面凑成全微分显式。(3)不定积分法: 求解上述积分的具体办法有: 先对 x(或y)求部分积分,引入关于 y(或x) 的待定函数,再用 C-R 条件确定该函数。 2017-2-18 第一章复变函数 3 9 例1. 已知解析函数 f(z)的实部 u(x,y )=x 2-y 2, 求虚部和这个解析函数。(1)曲线积分法: 解:因为,所以 u(x,y )是