格林公式.ppt

一、区域连通性的分类设D为平面区域, 如果 D内任一闭曲线所围成的部分都属于 D, 则称 D为平面单连通区域, D D 设空间区域 G, 如果 G内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 是空间二维单连通域; 如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称 G为空间一维单连通区域. G GG 一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成, 函数),(),(yxQyxP及在D 上具有一阶连续偏导数, 则有?????????? L D Qdy Pdx dxdy y Px Q)( (1) 其中L 是D 的取正向的边界曲线, 公式(1) 、格林公式定理 1 连成与由 21LLL 组成与由 21LLL 边界曲线 L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 2L D 1L 2L 1LD} ),()(), {( 21bxaxyxyxD???????证明(1) 若区域D 既是?X 型又是?Y 型, 即平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点.} ),()(), {( 21dycyxyyxD??????? yxo ab D c d)( 1xy??)( 2xy?? A BC E)( 2yx??)( 1yx?? dx x Qdy dxdy x Q yy dcD?????????)()( 21?????? dc dcdyyyQdyyyQ) ),(() ),(( 12?????? CAE CBEdyyxQdyyxQ),(),(???? EAC CBEdyyxQdyyxQ),(),(?? LdyyxQ),( 同理可证??????? LDdx yxPdxdy y P),( yxo d)( 2yx?? DcC E)( 1yx??若区域D 由按段光滑的闭曲线围成. 如图,证明(2)L 1L 2L 3L D1D 2D 3D 两式相加得?????????? L D Qdy Pdx dxdy y Px Q)( 将D 分成三个既是?X 型又是?Y 型的区域1D ,2D ,3D . ????????????????? 321)()( DDD Ddxdy y Px Qdxdy y Px Q ??????????????????????? 3 2 1)()()( D D Ddxdy y Px Qdxdy y Px Qdxdy y Px Q????????? 321LLL Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx ??? L Qdy Pdx 1D 2D 3DL 1L 2L 3L ),( 32,1 来说为正方向对DLLL GD 3L 2L F C E1L A B 证明(3) 若区域不止由一条闭曲线所围成. 添加直线段 AB, CE. 则D 的边界曲线由 AB,2L , BA, AFC,CE ,3L , EC及 CGA (2) 知??????? Ddxdy y Px Q)(?????????? CE AFC BA L AB 2{???????? CGA EC L Qdy Pdx )(} 3??? L Qdy Pdx ??????? 231) )(( LLL Qdy Pdx ),( 32,1 来说为正方向对DLLL 便于记忆形式:????????? LD Qdy Pdx dxdy QP yx . 格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.