附录A 三翻四复外文参考文献.doc

附录 A 外文参考文献(译文) 复数系§ 1实数我们用 R 表示所有实数组成的集。作者假定读者熟悉实数系及其性质,特别地,假定读者具备下面的知识:R 的序,上确界和下确界的定义和性质,以及 R 的完备性(R 中的每一个有上界的集必有上确界)。我们也假定读者熟知 R 的序列的收敛性与无穷级数。最后,一个人只有在单变量是函数方面有了坚实的基础之后, 才可以着手学习复变函数。虽然在学习解析函数理论之前,传统上是先学习多变数实函数。但是对于本书来说,本质上这不是必要的条件,因为本书中任何地方都不需要这个领域里深入的结果。§ 2 复数域我们把复数集 C 定义为所有有序对( , ) a b 的集,其中 a ,b 是实数。加法和乘法由下式定义: ( , ) ( , ) ( , ) a b c d a c b d ? ???, ( , )( , ) ( , ) a b c d ac bd bc ad ? ??。容易验证,这样定义后, C 满足域( field )的所有公理。这就是说, C 满足加法和乘法的结合律、交换律、分配律; (0, 0) 和(1, 0) 分别是加法和乘法的单位元素,并且 C 内的每一个非零元素有加法和乘法的逆元素。对于复数( , 0) a ,我们将写为 a 。这个映照 a →( , 0) a 定义了一个 R 到C 的域同构,所以我们可以把 R 考虑为 C 的一个子集。如果令(0,1) i?,那么( , ) a b a ib ? ?。从现在起,我们对复数就不在使用有序数对的记号了。注意到 21i ??,所以方程 2 1 0 i ? ?在C 内有根。事实上,对于 C 内的每个 z , 2 1 ( )( ) z z i z i ? ???。更一般地, 如果 z 和w 是复数, 我们得到 2 2 ( )( ) z w z iw z iw ? ???。令 z 和w 是实数 a 和b (a 和b 都不为 0),我们得到 2 2 2 2 2 2 1 ( ) a bi a b i a bi a b a b a b ?? ??? ???这样我们就有了一个复数的倒数的公式。当我们写( , ) z a bi a b R ? ? ?时,我们称 a ,b 为z 的实部和虚部,并且用 Re a z ?, Im b z ?表示。作为本节的结尾,我们在 C 内引进两个运算。这两个运算不是域的运算。如果( , ) z x iy x y R ? ? ?,那么我们定义 1 2 2 2 ( ) z x y ? ?为z 的绝对值, _ z x iy ? ?为z 的共轭数。注意: _2 z z z ?特别地,如果 0z?,那么_21zzz ?下面是绝对值和共轭数的基本性质,其证明留给读者。 _1 Re ( ) 2 z z z ? ?, _1 Im ( ) 2 z z z i ? ?。 ( ) z w z w ? ??, zw zw ? zw z w ? z w z w ? z z ?读者在证明后面三个式子时,应当尽量避免将 z 和w 展开为它们的实部和虚部,而最好利用( ),( )和( )。习题 : 3 3 6 1 3 5 1 3 1 3 ; ( ); ; ; ( ) ; ( ) ; 7 1 2 2 n z a i i i a R z i z z a i ? ??????? ? : 17 2 ; 3; (2 )(4 3 ); i i i i ? ???? :当且仅当 z z ?时, z 才是实数。 和w 是复数,证明下列等式: 2 2 2 2Re z w z zw w ? ??? 2 2 2 2 2( ) z w z w z w ? ???? ( ) R z 是z 的有理函数,如果( ) R z 的所有系数是实数,则( ) ( ) R z R z ?§ 3. 复平面从复数的定义易见, C 中的每一点 z 都可以和平面 2R 上唯一确定的点(Re , Im ) z z 相等