全国高中数学联赛模拟卷二试.doc

全国高中数学联赛模拟卷二试
全国高中数学联赛模拟卷二试
全国高中数学联赛模拟卷二试
２0１4年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试
(考试时间:150分钟 　满分：180分）
A
B
C
P
Q
I
D O1
I1)设,证明：
(1)对所有；（2）当时,（即互质）
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１、证:作OＲ⊥AＣ于R，过P作MＫ的垂线,交直线OR于Q点（如图)。这样只需证Ｑ'Ｍ∥O，因为这时Ｑ和Ｑ’重合.
   　因为K,M分别为ＡB和AC的中点，所以KＭ∥BC，于是∠ＭＰC＝∠BＣP=∠ＡCB=∠ＭCP。因此MP=ＭＣ＝ＭA,这样一来，Ｐ点在以ＡC为直径的圆周上，且∠ＡPＣ=9０°。
    在四边形APＯR中,∠AＰO=∠ＡRO=90°，所以AＰＯR内接于圆,∠ＲPO=∠RAＯ＝×∠BＡC。
    在四形边ＭPQ'Ｒ中,∠ＭＰQ’＝∠MRQ'＝90°，所以MPQ'Ｒ内接于圆，于是∠Q’ＭＲ＝∠Q'PＲ＝∠Ｑ’PO＋∠OPR=（90°—∠ＯＰM）+∠BAＣ＝（90°—∠ＡCB）+∠ＢAＣ.
   　设ＢＯ交AC于Ｄ，在△BＤＣ中，∠ＢDC=１８０°－∠ACB—∠ＡＢC＝90°+∠BAC－∠AＣB=∠Q'ＭＲ，因此MＱ’∥BO，于是本题得证。
2、解:由递归方程,得不动点．由不动点方法 .
令，则。易知,.
注意到，
其中，,，为斐波那契数列。
于是,.
故。
（1）要使总存在正整数，当时，恒为常数,还需分情况讨论．
（i）若,当时，恒为常数.
由，,,……
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有，且． 　此时,恒为常数1或。
（ｉi）若，当时,恒为常数。
首先，当时，如果，由,及,．又由,有。
于是,由，有，矛盾。
此时，只能是，即,所以，，，……于是,，且，且，或，且，．
因此,当或,且时,取．当时,恒为常数。
其次，当在时不恒为,但当时,使恒为常数,故．则在时恒为常数．
显然，,。
若且，则，有的分母为0，矛盾．所以，只能或,即或，且时,当时,恒为常数1。
综上,当且或且时,总存在正整数,使当时恒为常数1或。
(2)注意到．
则.
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故,,。
３、证明  设Ａ、B、C、D、E、、AC、ＡD、AE、AF,由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AＢ、ＡＣ、AD,且它们都染成红色。再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ＡＢＣ)；如△ＢＣD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形,同色三角形也现了。总之，不论在哪种情况下,都存在同色三角形。
证明 　用平面上无三点共线的１7个点A1,A2，…，A1７分别表示1７位科学家。设他们讨论的题目为x，y,z，两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,。
考虑以Ａ１为端点的线段A1A2，A1A３，…,A1Ａ1７，由抽屉原则这１6条线段中至少有６条同色,不妨设A1Ａ2,A1A３,…，A１A７为红色．现考查连结六点Ａ2,A3，…，A7的１5条线段，如其中至少有一条红色线段,则同色(红色）三角形已出现;如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色,由例5知一定存在以这１5条线段中某三条为边的同色三角形(蓝色或黄色）。问题得证. 　 （属图论中的接姆赛问题。）
4、证明：(1)由递推关系得当时，,即，那么∴对所有，
（２）由递推关系得不妨设，得，令
则
201４年全国高中数学联赛
加　 试
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1。　　（4０分)如图，锐角三角形ABＣ的外心为Ｏ，Ｋ是边ＢC上一点（不是边ＢC的中点),D是线段AＫ延长线上一点,直线ＢD与AＣ交于点Ｎ,直线CD与AB交于点Ｍ．求证:若OK⊥ＭＮ，则A，B，D,C四点共圆．
２。 (40分)设k是给定的正整数，.记，.证明：存在正整数ｍ，，表示不小于实数ｘ的最小整数，例如：，。
3．　　（50分)给定整数,设正实数满足，记
。
求证：　。
４。 　(50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值０和１两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？