中考数学第二编中档题突破专项训篇中档题型训四三角形、四边形中的相关证明及计算试题.docx

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中档题型训练(四)　三角形、四边形中的相关证明及计算
纵观近8年河北省中考题，三角形常及旋转、折叠、平移等知识点结合起来考察；四边形中要特别关注四边形、矩形、菱形与正方形的性质与判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．
　
(3)拓展
如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2 , 0)，点B的坐标为(5 , 0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
解：(1)CB延长线上，a＋b；(2)① DC＝： ∵△ABD与△ACE为等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE, ∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB. ∴DC＝BE；② BE长的最大值是4；(3)AM的最大值为3＋2，点P的坐标为(2－，)．
　四边形的有关计算及证明
【例2】(2021邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如下图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)假设四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
【思路分析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30
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°，利用锐角三角函数可求出AE，BE，进而求出AD，DE，即可求出菱形BFDE的面积．
【学生解答】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝：BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°，∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN，∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形；(2)∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD＝∠FBD.∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝×90°＝30°.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝，BE＝，∴ED＝，∴AD＝2.∴S△ABE＝AB·AE＝.S矩形ABCD＝AB·AD＝4，∴S菱形BFDE＝4－2×＝.
5．(2021南京中考)如图，AB ∥ CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.
(1) 求证：四边形EGFH是矩形；
(2) 小明在完成(1)的证明后继续进展了探索．过G作MN ∥ EF，分别交AB，CD于点M, N，过H作PQ ∥ EF，分别交AB，CD于点P，Q，，他猜测四边形MNQP是菱形，请在以下框图中补全他的证明思路．
小明的证明思路
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形 MNQP是平行四边形．要证▱MNQP是菱形， FG平分∠CFE__， MN ∥ EF, 可证NG＝NF，故只要证GM ＝FQ，_EG＝FH__，__∠GME＝∠FQH__， 故只要证 ∠MGE ＝ ∠QFH，易证∠MGE ＝ ∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得证．
证明：(