均值不等式公式总结及应用.docx

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均值不等式应用
1. (1) 若
a,
b
R
，则
a
2
b
2
2
ab
(2)若
a,
b
R
，则
ab
a
2
2
b
2
（当且仅当
a
巧三： 分离
2
例 3. 求 y x 7 x 10 ( x 1) 的值域。
x 1
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（ x＋ 1）的项，再将其分离。
当 ,即 时, y 2（x 1) 4 5 9（当且仅当 x＝1 时取“ ＝” 号）。
x 1
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令
4
9
t=x ＋1，化简原式在分离求最值。
y
(
t
2
1)
7(
t
1 +10
=
t
2
5
t
4
t
5
t
t
t
当
,即 t=
时 ,
y
2
t
4
5
（当 t=2
即 x＝1 时取“ ＝” 号）。
t
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为
y
mg x ( )
A
B A
0,
B
0)， g(x) 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
x
(0,
)
g x ( )
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数
f x ( )
x
a
的单调性。
x
例：求函数
y
2
x
2
5
的值域。
x
4
解：令
2
x
4
t t
2)
，则
y
x
2
5
2
x
4
1
4
t
1
(
t
2)
2 x
t
2
x
4
因
t
0,
t
1
1
，但
t
1
解得
t
1
不在区间
2,
，故等号不成立，考虑单调性。
t
t
因为
y
t
1
在区间 1,
单调递增，所以在其子区间
2,
为单调递增函数，故
y
5
。
t
2
所以，所求函数的值域为
5 ,
2
。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，
x 的值 .
（ 1）
y
x
2
3
x
1,(
x
0)
（ 2）
y
2
x
x
1
3
,
x
3
(3)
y
2sin
x
1
x
,
x
sin
2．已知 0
x
1
，求函数
y
x (1
x 的最大值 .； 3．
0
x
2
，求函数
y
x (2 3 )
的最大值 .
3
条件求最值

a
b
2
，则
3
a
3
b
的最小值是
3 a 3
b
.
分析：“ 和” 到“ 积” 是一个缩小的过程，而且
定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解：
a
3 和
b 3
都是正数，
3
a
3
b
≥
2
a
3
b 3
2
a 3
b
6
当
3
a
3
b
时等号成立，由
2
a
b
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b
1