最近考题4章.ppt

第第4 4章要点、最近考题章要点、最近考题 1. 1. 极限极限 lim n ??= =1?一、复级数一、复级数 lim n ??? 1 ni? 1 ni?1in ? 1in ? 2. na? 1n 2 nie ??,则,则 na lim n ??= =? 0 二、幂级数二、幂级数( (阿贝尔定理阿贝尔定理) )设设 00z?如果如果 0 nncz 0n ???收敛收敛, ,O 0 | | z 0z 则当则当 z 时时 z 0n ??? nn c z 绝对绝对收敛收敛如果如果 0 nncz 0n ???发散发散, ,则当则当 z 时时 0n ??? nn c z 发散发散推论推论若若 0n ???( ) nn c z a ?在在 z = z = z z 0 0处收敛处收敛 a 0zz 则当则当 z a ?时时 0n ???( ) nn c z a ?绝对绝对收敛收敛 0za?定理定理 0n ??? nn c z 0z? 0z?| | ?| | | | | | | | | | 1. 1. 0n ???( 2) nn a z ?在在 z = z = 0 0 则则 0n ???( 2) nn a z ?设幂级数设幂级数处收敛处收敛在在 z = z = 3 3处处2 z3 . 2. 0 ( 2) nnn a z ????在在 z=0 z=0 处处收敛收敛、、在在 z=4 z=4 处处发散发散则其收敛半径则其收敛半径 R= R=24 | 2| z ? ?|0 2|?内绝对内绝对收敛收敛| 2| z ? ?|4 2|?内内发散发散 22 比值法比值法 0n ??? na 若若收敛收敛半径半径的计算方法的计算方法幂级数幂级数 na 1na ? lim n ??l? 0,?则收敛则收敛半径半径 R?根值法根值法若若 na n lim n ??l? 0,?则收敛则收敛半径半径 R? 1l1l nz 1. 1. 0n ???(1 ) ni?幂级数幂级数 nz 的收敛半径为的收敛半径为 12 2. 0n ??? ine ?nz 的收敛圆为的收敛圆为| | 1 z?三、泰勒级数三、泰勒级数 11z?积分积分 ln(1 ) z? z? 313 z? 414 z? 1 ( 1) ...1 nnzn ??? ??...? 21 (1 ) z ?? 1 ??求导求导 23z? 34z ? ? 1 ... ( 1) n n nz ?? ?...? 1?...? 11z?| | 1 z? 3z?... nz ? ? z? 2z? 4z?1? 3z?... ( 1) n n z ? ??...?z? 2z? 4z? 212 z?2z? ze 1? 21 2! z? 1 ...! nzn ? ?...?| | z ?? 41 4! z? z? 31 3! z? sin z z? 51 5! z?...?| | z ??... (2 1)! n ? ?? 2 1 nz ?( 1) n? 31 3! z? 71 7! z?洛朗级数洛朗级数. .1. 1. 函数函数( ) f z ? 2 z i ? z 在在z?0 处的泰勒展开式中处的泰勒展开式中 5z 的系数为的系数为解解( ) f z ? iz ? ? 21 iz? 1 iz ?? 2 (1 iz? 2 4 i z ?)?? iz ?? 3z? 2 4 i z ? 5 iz??? i 2. 2. 求函数求函数( ) f z ?内的洛朗级数内的洛朗级数. . | 1| z?在圆环域在圆环域 2????( 1) z?( 1) z? 1 解解在圆环域在圆环域 21z? 1?| 1| z?2???? 11z? 121 ( ) z ? ? 21 ( ) 1z ?? 111 2z ?? 21 ( ) 1z ?? 0n ??? 0n ????( ) f z ?( ) 1 nz?( 1) n? 2 ( ) 1 nz ??( 1) n?2 n2 n | 1| z?2???? 3. 3. ( ) f z ?内的洛朗级数内的洛朗级数. . 求函数求函数在圆环域在圆环域解解在圆环域在圆环域 12z? 1?| 2| z?